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3 Chaˆ ınes de Markov non lin´ eaires
Avec ce syst` eme de notations, nous avons
Ψ G (μ) = μS μ
⇐⇒ Ψ G (μ)(dy) =
E
μ(dx)S μ (x, dy)
avec la famille de probabilit´ es de transition sur E donn´ ees par la formule
suivante :
S μ (x, dy) = (μ) G(x) δ x (dy) + (1 − (μ) G(x)) Ψ G (μ)(dy).
Pour v´ erifier cette assertion, on se donne une fonction test born´ ee f sur E
et l’on observe que
S μ (f )(x) = (μ) G(x) f (x) + (1 − (μ) G(x)) Ψ G (μ)(f )
On en d´ eduit les formules suivantes :
μ (S μ (f )) = (μ) μ(Gf ) + (1 − (μ) μ(G)) Ψ G (μ)(f )
= (μ) μ(Gf ) + Ψ G (μ)(f ) − (μ) μ(G)
μ(Gf )
μ(G)
= Ψ G (μ)(f ).
Reprenons les ´ equations non lin´ eaires (3.7) v´ erifi´ ees par les flots de mesures
de Feynman-Kac (η n ) n≥0 introduites en (3.8)
η n+1 = Φ n+1 (η n ) := Ψ Gn (η n )M n+1
D’apr` es les calculs pr´ ec´ edents, nous avons l’´ equation de transport
Ψ Gn (η n ) = η n S n,ηn
avec les transitions S n,ηn (x n , dy n ) sur E n d´ efinies par les formules suivantes
S n,ηn (x n , dy n ) = n (η n ) G n (x n ) δ xn (dy n ) + (1 − n (η n ) G n (x n )) Ψ n (η n )(dy n )
avec des param` etres 𵫾 n (η n ) ≥ 0 tels que n (η n )G n (x n ) ≤ 1, pour tous les
x n ∈ E n .
On en d´ eduit l’´ equation suivante
η n+1 = η n K n+1,ηn
avec la famille de transitions de probabilit´ es compos´ ees
K n+1,ηn (x n , dx n+1 ) = S n,ηn M n+1 (x n , dx n+1 )
=
En
S n,ηn (x n , dy n ) M n+1 (y n , dx n+1 )
(3.11)