3.6 Flots de mesures de Feynman-Kac
61
η n (f n ) =
γ n (f n )
γ n (1)
=
γ n−1 (G n−1 M n (f n ))
γ n−1 (G n−1 )
et par cons´ equent
η n (f n ) =
γ n−1 (G n−1 M n (f n ))/γ n−1 (1)
γ n−1 (G n−1 )/γ n−1 (1)
=
η n−1 (G n−1 M n (f n ))
η n−1 (G n−1 )
On en conclut, grˆ ace `
a (3.6), que
∀f n ∈ B b (E n )
η n (f n ) = Ψ Gn−1 (η n−1 )(M n (f n ))
Autrement dit, nous avons
η n = Φ n (η n−1 ) = Ψ Gn−1 (η n−1 )M n
Les mˆ emes arguments permettent d’analyser les mesures ( γ n ,
η n ).
Ces mesures de probabilit´ es permettent de mod´ eliser une vari´ et´ e consid´ erable de probl` emes issus de la physique, ou de la biologie : traitement
du signal non lin´ eaire, description de macro-polym` eres et de chaˆ ınes auto´ evitantes, analyse d’´ ev´ enements rares, repr´ esentation de valeurs propres et
d’´ etats fondamentaux d’op´ erateurs de Schr¨ odinger,etc. Nous examinerons un
certain nombre de ces questions dans le chapitre 8, pour plus de d´ etails nous
renvoyons le lecteur aux ouvrages [36, 37, 55]. Dans la section 8.3, nous
pr´ esentons un algorithme de simulation universel de ces mesures de FeynmanKac. Ces mod` eles particulaires sont fond´ es sur l’´ evolution d’individus en interaction explorant l’espace selon des m´ ecanismes de mutation et s´ election de
type g´ en´ etique.
3.6.2 Chaˆ ınes de Markov non lin´ eaires
Commen¸ cons par remarquer qu’une transformation de Boltzmann-Gibbs
Ψ G (μ)(dx) :=
1
μ(G)
G(x) μ(dx)
(3.10)
associ´ ee ` a une fonction potentiel G sur un espace d’´ etat E, peut s’interpr´ eter
comme un transport de mesure markovien. Pour ˆ etre plus pr´ ecis, on note (μ)
une famille de param` etres pouvant d´ ependre de G et μ, et telle que
(μ) G(x) ≤ 1 pour μ-presque tous les x ∈ E.
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η n (f n ) =
γ n (f n )
γ n (1)
=
γ n−1 (G n−1 M n (f n ))
γ n−1 (G n−1 )
et par cons´ equent
η n (f n ) =
γ n−1 (G n−1 M n (f n ))/γ n−1 (1)
γ n−1 (G n−1 )/γ n−1 (1)
=
η n−1 (G n−1 M n (f n ))
η n−1 (G n−1 )
On en conclut, grˆ ace `
a (3.6), que
∀f n ∈ B b (E n )
η n (f n ) = Ψ Gn−1 (η n−1 )(M n (f n ))
Autrement dit, nous avons
η n = Φ n (η n−1 ) = Ψ Gn−1 (η n−1 )M n
Les mˆ emes arguments permettent d’analyser les mesures ( γ n ,
η n ).
Ces mesures de probabilit´ es permettent de mod´ eliser une vari´ et´ e consid´ erable de probl` emes issus de la physique, ou de la biologie : traitement
du signal non lin´ eaire, description de macro-polym` eres et de chaˆ ınes auto´ evitantes, analyse d’´ ev´ enements rares, repr´ esentation de valeurs propres et
d’´ etats fondamentaux d’op´ erateurs de Schr¨ odinger,etc. Nous examinerons un
certain nombre de ces questions dans le chapitre 8, pour plus de d´ etails nous
renvoyons le lecteur aux ouvrages [36, 37, 55]. Dans la section 8.3, nous
pr´ esentons un algorithme de simulation universel de ces mesures de FeynmanKac. Ces mod` eles particulaires sont fond´ es sur l’´ evolution d’individus en interaction explorant l’espace selon des m´ ecanismes de mutation et s´ election de
type g´ en´ etique.
3.6.2 Chaˆ ınes de Markov non lin´ eaires
Commen¸ cons par remarquer qu’une transformation de Boltzmann-Gibbs
Ψ G (μ)(dx) :=
1
μ(G)
G(x) μ(dx)
(3.10)
associ´ ee ` a une fonction potentiel G sur un espace d’´ etat E, peut s’interpr´ eter
comme un transport de mesure markovien. Pour ˆ etre plus pr´ ecis, on note (μ)
une famille de param` etres pouvant d´ ependre de G et μ, et telle que
(μ) G(x) ≤ 1 pour μ-presque tous les x ∈ E.