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3 Chaˆ ınes de Markov non lin´ eaires
Ces mesures η n et leurs mesures mises ` a jour ou corrig´ ees
η n := Ψ Gn (η n )
peuvent s’exprimer sous forme d’int´ egrales de chemins pond´ er´ es connus sous
le nom de formules de Feynman-Kac.
Ces repr´ esentations fonctionnelles sont donn´ ees sur des fonctions tests f n
par les formules suivantes
η n (f n ) := γ n (f n )/γ n (1) et
η n (f n ) :=
γ n (f n )/ γ n (1)
(3.8)
avec des mesures non normalis´ ees γ n et
γ n d´ ecrites ci-dessous :
γ n (f n ) := E[f n (X n )
0≤k γ n (f n ) := γ n (f n G n ) (3.9)
Pour v´ erifier la formule (3.7), partant de (3.8) et (3.9), on utilise tout d’abord
la propri´ et´ e de Markov pour v´ erifier que
γ n (f n ) = E
⎛
⎝ E (f n (X n ) | (X p ) 0≤p 0≤p G p (X p )
⎞
⎠
= E
⎛
⎝ E (f n (X n ) | X n−1 )
0≤p G p (X p )
⎞
⎠
Ceci entraˆ ıne que
γ n (f n ) = E
⎛
⎝ M n (f n )(X n−1 )
0≤p G p (X p )
⎞
⎠
avec
M n (f n )(x n−1 ) := E (f n (X n ) | X n−1 = x n−1 )
Dans un second temps, on constate que l’on a :
γ n (f n ) = E
⎛
⎝ G n−1 (X n−1 )M n (f n )(X n−1 )
0≤p<(n−1)
G p (X p )
⎞
⎠
Par d´ efinition de la mesure γ n−1 , nous avons
γ n (f n ) = γ n−1 (G n−1 M n (f n )) et γ n (1) = γ n−1 (G n−1 )
Ceci entraˆ ıne que