3.6 Flots de mesures de Feynman-Kac
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3.6 Flots de mesures de Feynman-Kac
3.6.1 Description des mod` eles
On se donne une suite de fonctions positives et born´ ees G n sur E n . On note
P Gn (E n ) l’ensemble des mesures de probabilit´ es μ sur E n telles que μ(G n ) = 0
On associe `
a chaque fonction potentiel G n une transformation de
Boltzmann-Gibbs Ψ Gn d´ efinie par les formules suivantes
Ψ Gn : μ ∈ P Gn (E) → Ψ Gn (μ) ∈ P Gn (E)
(3.5)
avec la mesure de probabilit´ e Ψ Gn (μ) donn´ ee par
Ψ Gn (μ)(dx) :=
1
μ(G n )
G n (x) μ(dx)
Notons que pour toute fonction f mesurable sur E n , on v´ erifie facilement que
Ψ G (μ)(f ) :=
μ(G f)
μ(G)
(3.6)
On se donne M n (x n−1 , dx n ) une suite de probabilit´ es de transitions de
E n−1 dans E n , avec n ≥ 1. On consid` ere enfin une mesure de probabilit´ e η 0
sur E 0 telle que η 0 (G 0 ) > 0. On notera par la suite X n une chaˆ ıne de Markov
` a valeurs dans E n de loi initiale η 0 et de probabilit´ es de transitions
M n (x n−1 , dx n ) := P(X n ∈ dx n | X n−1 = x n−1 )
On suppose que
∀ η n ∈ P Gn (E n )
η n M n+1 ∈ P Gn+1 (E n+1 )
autrement dit
η n (G n ) > 0 =⇒
η n M n+1 (G n ) > 0
Lorsque les fonctions potentiel sont strictement positives, les espaces P Gn (E n )
co¨ ıncident avec l’espace de toutes les mesures de probabilit´ es sur E n . Dans ce
cas, les conditions pr´ ec´ edentes sont trivialement satisfaites.
On consid` ere (η n ) n≥0 le flot de mesures de probabilit´ es d´ efini par les
´ equations :
η n = Φ n (η n−1 ) := Ψ Gn−1 (η n−1 )M n
(3.7)