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3 Chaˆ ınes de Markov non lin´ eaires
∀1 ≤ i ≤ N
ξ
(i,N )
n
= a n
ξ
(i,N )
n−1 , η
N
n−1
+ W
i
n
avec η
N
n−1 :=
1
N
N
j=1
δ ξ
(j,N )
n−1
Dans cette formulation, la suite (W
i
n ) 1≤i≤N est form´ ee de N copies
de W n . L’´ etat initial (ξ
(i,N )
0
) 1≤i≤N est encore form´ e de N copies
de X 0 .
3.5 Mod` eles simplifi´ es de gaz de McKean
Dans cette section, nous pr´ esentons le mod` ele simplifi´ e de gaz `
a deux
vitesses de McKean ´ etudi´ e dans l’article [139]. L’analyse qui suit peut s’´ etendre
` a des mod` eles plus sophistiqu´ es avec des vitesses multiples. Le mod` ele le plus
´ el´ ementaire est d´ efini sur l’espace E = {−1, +1} en associant ` a chaque mesure
η dans l’ensemble P({−1, +1}) des mesures de probabilit´ es sur {−1, +1} la
transition suivante :
K n,η (x, dy) = η(+1) δ x (dy) + η(−1) δ −x (dy).
(3.4)
On associe `
a ces transitions le processus ` a valeurs mesure suivant :
η n+1 (+1) = η n (+1) K n+1,ηn (+1, +1) + η n (−1) K n+1,ηn (−1, +1)
= η n (+1)
2 + η n (−1)
2 = η n (+1)
2 + (1 − η n (+1))
2
On pourra remarquer que l’on a
η n+1 (−1) = η n (+1) K n+1,ηn (+1, −1) + η n (−1) K n+1,ηn (−1, −1)
= 2 η n (+1)η n (−1)
L’interpr´ etation particulaire (3.2) associ´ ee ` a ces ´ equations est la chaˆ ıne de
Markov
ξ
(N )
n
=
ξ
(1,N )
n
, ξ
(2,N )
n
, . . . , ξ
(N,N )
n
∈ {−1, +1}
N
d´ efinie par la formule
∀1 ≤ i ≤ N
ξ
(i,N )
n
=
(i,N )
n
ξ
(i,N )
n−1
Dans la d´ efinition pr´ ec´ edente (
(i,N )
n
) 1≤i≤N repr´ esente une suite de variables
al´ eatoires conditionnellement ind´ ependantes sur {−1, +1} de loi :
P
(i,N )
n
= | ξ
(N )
n−1
= η
N
n−1 (+1) 1 1 () + η
N
n−1 (−1) 1 −1 ()
avec
η
N
n−1 :=
1
N
N
j=1
δ ξ
(j,N )
n−1
ind´ ependantes
ind´ ependantes