3.4 Champs moyens de type gaussien
57
Fig. 3.3. Champs de vitesses al´ eatoires en interaction
Cet exemple est int´ eressant car les mesures de McKean associ´ ees
η 0 (dx 0 )K 1,η0 (x 0 , dx 1 ) . . . K n,ηn−1 (x n−1 , dx n )
peuvent s’interpr´ eter comme les lois des trajectoires (X 0 , . . . , X n ) d’une
chaˆ ıne de Markov non lin´ eaire donn´ ee par les ´ equations cin´ etiques suivantes :
X n = a n (X n−1 , η n−1 ) + W n ,
n≥ 1
avec
– W n , n ≥ 1, une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes, ` a valeurs
dans R
d , et de lois gaussiennes
λ n (dy) =
1
(2π)
d
2
|Q n |
exp
−
1
2
y
Q
−1
n y
dy
– X 0 une variable al´ eatoire de loi η 0 , et ind´ ependante de la suite W n .
– pour chaque n ≥ 0, η n est la loi de X n .
L’interpr´ etation particulaire de type champ moyen (3.2) associ´ ee au mod` ele
d’´ evolution (3.3) est la chaˆ ıne de Markov
ξ
(N )
n
=
ξ
(1,N )
n
, ξ
(2,N )
n
, . . . , ξ
(N,N )
n
∈ (R
d )
N
d´ efinie par les ´ equations cin´ etiques suivantes :
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Fig. 3.3. Champs de vitesses al´ eatoires en interaction
Cet exemple est int´ eressant car les mesures de McKean associ´ ees
η 0 (dx 0 )K 1,η0 (x 0 , dx 1 ) . . . K n,ηn−1 (x n−1 , dx n )
peuvent s’interpr´ eter comme les lois des trajectoires (X 0 , . . . , X n ) d’une
chaˆ ıne de Markov non lin´ eaire donn´ ee par les ´ equations cin´ etiques suivantes :
X n = a n (X n−1 , η n−1 ) + W n ,
n≥ 1
avec
– W n , n ≥ 1, une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes, ` a valeurs
dans R
d , et de lois gaussiennes
λ n (dy) =
1
(2π)
d
2
|Q n |
exp
−
1
2
y
Q
−1
n y
dy
– X 0 une variable al´ eatoire de loi η 0 , et ind´ ependante de la suite W n .
– pour chaque n ≥ 0, η n est la loi de X n .
L’interpr´ etation particulaire de type champ moyen (3.2) associ´ ee au mod` ele
d’´ evolution (3.3) est la chaˆ ıne de Markov
ξ
(N )
n
=
ξ
(1,N )
n
, ξ
(2,N )
n
, . . . , ξ
(N,N )
n
∈ (R
d )
N
d´ efinie par les ´ equations cin´ etiques suivantes :