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3 Chaˆ ınes de Markov non lin´ eaires
Fig. 3.2. Syst` emes de particules en interaction de type champ moyen
3.4 Champs moyens de type gaussien
On consid` ere l’´ equation d’´ evolution suivante sur l’ensemble P(R
d ) des mesures de probabilit´ es sur l’espace d-dimensionnel R
d :
η n+1 (dy) = (η n K n+1,ηn ) (dy) :=
R d
η n (dx) K n+1,ηn (x, dy)
(3.3)
Dans la d´ efinition pr´ ec´ edente, les probabilit´ es de transitions K n,η sur E n = R
d
sont d´ efinies par les mesures gaussiennes :
K n,η (x, dy) =
1
(2π)
d
2
|Q n |
exp
−
1
2
(y − a n (x, η))
Q
−1
n (y − a n (x, η))
dy
o` u
– Q n d´ esigne une matrice (d × d) sym´ etrique et d´ efinie positive, et
|Q n | := det(Q n )
– dy = dy
1
×. . . dy
d d´ esigne la mesure de Lebesgue sur R
d , y = (y
1 , . . . , y
d )
et x ∈ R
d .
– a n : R
d
×P(R
d ) → R
d est une fonction suffisamment r´ eguli` ere et born´ ee.
3 Chaˆ ınes de Markov non lin´ eaires
Fig. 3.2. Syst` emes de particules en interaction de type champ moyen
3.4 Champs moyens de type gaussien
On consid` ere l’´ equation d’´ evolution suivante sur l’ensemble P(R
d ) des mesures de probabilit´ es sur l’espace d-dimensionnel R
d :
η n+1 (dy) = (η n K n+1,ηn ) (dy) :=
R d
η n (dx) K n+1,ηn (x, dy)
(3.3)
Dans la d´ efinition pr´ ec´ edente, les probabilit´ es de transitions K n,η sur E n = R
d
sont d´ efinies par les mesures gaussiennes :
K n,η (x, dy) =
1
(2π)
d
2
|Q n |
exp
−
1
2
(y − a n (x, η))
Q
−1
n (y − a n (x, η))
dy
o` u
– Q n d´ esigne une matrice (d × d) sym´ etrique et d´ efinie positive, et
|Q n | := det(Q n )
– dy = dy
1
×. . . dy
d d´ esigne la mesure de Lebesgue sur R
d , y = (y
1 , . . . , y
d )
et x ∈ R
d .
– a n : R
d
×P(R
d ) → R
d est une fonction suffisamment r´ eguli` ere et born´ ee.