3.3 Interpr´ etations particulaires en champ moyen
55
Plus formellement, nous avons
P
ξ
(N )
n+1 ∈ d(x
1 , . . . , x
N ) | ξ
(N )
n
=
N
i=1
K n+1,η N
n
(ξ
(i,N )
n
, dx
i )
(3.2)
o` u η
N
n sont les mesures d’occupation du syst` eme
η
N
n :=
1
N
N
j=1
δ ξ
(j,N )
n
Autrement dit, connaissant une r´ ealisation du syst` eme au temps n, la
population des individus au temps (n + 1)
ξ
(1,N )
n+1 , ξ
(2,N )
n+1 , . . . , ξ
(N,N )
n+1
est form´ ee de N variables al´ eatoires ind´ ependantes de lois respectives
K n+1,η N
n
(ξ
(1,N )
n
, dx
1 ) , K n+1,η N
n
(ξ
(2,N )
n
, dx
2 ) , . . . K n+1,η N
n
(ξ
(N,N )
n
, dx
N )
Sous certaines hypoth` eses de r´ egularit´ e, on peut montrer que l’on a, en un
certain sens,
η
N
n :=
1
N
N
j=1
δ ξ
(j,N )
n
N ↑∞ η n
Une description sch´ ematique d’une r´ ealisation de ces syst` emes de particules en interaction de type champ moyen est donn´ ee dans la figure 3.2.
Ces syst` emes de particules en interaction de type champ moyen peuvent
ˆ etre de nature tr` es diff´ erentes. Certains de ces mod` eles s’expriment sous forme
de syst` emes dynamiques al´ eatoires dans lesquels chaque coordonn´ ee ´ evolue en
fonction de la mesure d’occupation des coordonn´ ees pr´ ec´ edentes. Un exemple
de tels syst` emes dans le cadre gaussien est donn´ e dans la section 3.4. On rencontre ces syst` emes en m´ ecanique des fluides. L’´ evolution des particules fluides
d´ epend de la distribution des vitesses des particules voisines. Une illustration
tr` es sch´ ematique de ces mod` eles est donn´ ee dans la figure 3.3.
Dans d’autres situations, les particules ´ evoluent selon des m´ ecanismes
de sauts interactifs en fonction de la mesure d’occupation du syst` eme. Ces
mod` eles peuvent aussi s’interpr´ eter comme des processus de naissance et de
mort, ou encore comme des processus de branchements. Nous rencontrerons
ces mod` eles de type ´ evolutionnaire dans la section 3.6.3.
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Plus formellement, nous avons
P
ξ
(N )
n+1 ∈ d(x
1 , . . . , x
N ) | ξ
(N )
n
=
N
i=1
K n+1,η N
n
(ξ
(i,N )
n
, dx
i )
(3.2)
o` u η
N
n sont les mesures d’occupation du syst` eme
η
N
n :=
1
N
N
j=1
δ ξ
(j,N )
n
Autrement dit, connaissant une r´ ealisation du syst` eme au temps n, la
population des individus au temps (n + 1)
ξ
(1,N )
n+1 , ξ
(2,N )
n+1 , . . . , ξ
(N,N )
n+1
est form´ ee de N variables al´ eatoires ind´ ependantes de lois respectives
K n+1,η N
n
(ξ
(1,N )
n
, dx
1 ) , K n+1,η N
n
(ξ
(2,N )
n
, dx
2 ) , . . . K n+1,η N
n
(ξ
(N,N )
n
, dx
N )
Sous certaines hypoth` eses de r´ egularit´ e, on peut montrer que l’on a, en un
certain sens,
η
N
n :=
1
N
N
j=1
δ ξ
(j,N )
n
N ↑∞ η n
Une description sch´ ematique d’une r´ ealisation de ces syst` emes de particules en interaction de type champ moyen est donn´ ee dans la figure 3.2.
Ces syst` emes de particules en interaction de type champ moyen peuvent
ˆ etre de nature tr` es diff´ erentes. Certains de ces mod` eles s’expriment sous forme
de syst` emes dynamiques al´ eatoires dans lesquels chaque coordonn´ ee ´ evolue en
fonction de la mesure d’occupation des coordonn´ ees pr´ ec´ edentes. Un exemple
de tels syst` emes dans le cadre gaussien est donn´ e dans la section 3.4. On rencontre ces syst` emes en m´ ecanique des fluides. L’´ evolution des particules fluides
d´ epend de la distribution des vitesses des particules voisines. Une illustration
tr` es sch´ ematique de ces mod` eles est donn´ ee dans la figure 3.3.
Dans d’autres situations, les particules ´ evoluent selon des m´ ecanismes
de sauts interactifs en fonction de la mesure d’occupation du syst` eme. Ces
mod` eles peuvent aussi s’interpr´ eter comme des processus de naissance et de
mort, ou encore comme des processus de branchements. Nous rencontrerons
ces mod` eles de type ´ evolutionnaire dans la section 3.6.3.