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3 Chaˆ ınes de Markov non lin´ eaires
X
1
n−1
. . .
X
i
n−1
. . .
X
N
n−1
Kn,η n−1
− −−−− →
Kn,η n−1
− −−−− →
Kn,η n−1
− −−−− →
X
1
n
. . .
X
i
n
. . .
X
N
n
La loi des grands nombres nous donne l’approximation suivante :
∀n ≥ 0
η
N
n :=
1
N
N
i=1
δ X
i
n
N ↑∞ η n
Malheureusement, dans la plupart des cas les lois η n de ces chaˆ ınes non
lin´ eaires n’ont aucune expression analytique explicite et/ou ne peuvent ˆ etre
simul´ ees de fa¸ con exacte par aucun algorithme de simulation dans un temps
raisonnable.
L’id´ ee des m´ ethodes particulaires de type champ moyen est d’utiliser la
population courante pour approcher ces lois complexes, i.e. de remplacer η n−1
par la mesure empirique η
N
n−1 lors de la simulation selon K n,ηn−1 . Sous certaines conditions de r´ egularit´ es sur les transitions K n,η , nous avons
η
N
n−1 N ↑∞ η n−1 −→ K n,η N
n−1
N ↑∞ K n,ηn−1
En utilisant ces formules d’approximation, on d´ efinit r´ ecursivement une
chaˆ ıne de Markov (ξ
(N )
n ) n≥0 sur les espaces produits E
N
n par
ξ
(N )
n
= (ξ
(1,N )
n
, ξ
(2,N )
n
, . . . , ξ
(N,N )
n
).
L’´ etat initial (ξ
(1,N )
0
, ξ
(2,N )
0
, . . . , ξ
(N,N )
0
) est donn´ e par N variables al´ eatoires
ind´ ependantes et identiquement distribu ´
ees de loi η 0 . Les transitions ´ el´ emen
taires de cette chaˆ ıne sont donn´ ees par le sch´ ema suivant
ξ
(1,N )
n−1
. . .
ξ
(i,N )
n−1
. . .
ξ
(N,N )
n−1
K n,η N
n−1
− −−−− →
K n,η N
n−1
− −−−− →
K n,η N
n−1
− −−−− →
ξ
(1,N )
n
. . .
ξ
(i,N )
n
. . .
ξ
(N,N )
n
-