3.3 Interpr´ etations particulaires en champ moyen
53
Nous ´ etudierons ces mod` eles math´ ematiques avec plus de d´ etails dans la
section 3.2. Il me semble important de souligner que ces mod` eles discrets sont
tr` es proches des ´ equations ` a temps continu issues de la m´ ecanique des fluides,
telles les ´ equations diffusives de type McKean-Vlasov et/ou les mod` eles de
gaz de type Boltzmann.
3.2 Description des mod` eles
La plus simple fa¸ con de d´ efinir une chaˆ ıne de Markov non lin´ eaire est de se
donner un chaˆ ıne de Markov (X n ) n≥0 de loi initiale η 0 = Loi(X 0 ) sur E 0 et
de transitions de probabilit´ es ´ el´ ementaires d’un espace E n−1 vers un espace
E n d´ ecrites par une formule de la forme (3.1). Dans la d´ efinition pr´ ec´ edente,
K n,ηn−1 (x n−1 , dx n ) d´ esigne une famille de probabilit´ es de transitions de E n−1
vers un espace E n , index´ ees par le param` etre temporel et par une mesure η n−1
sur E n−1 .
On v´ erifie par r´ ecurrence ` a partir de 3.1 que
P
(X 0 , . . . , X n ) ∈ d(x 0 , . . . , x n )
= η 0 (dx 0 ) K 1,η0 (x 0 , dx 1 ) . . . K n,ηn−1 (x n−1 , dx n )
Ces mesures sont appel´ ees les mesures de McKean associ´ ees aux transitions de
probabilit´ es (K n,η ) n,η . Une simple int´ egration par rapports aux coordonn´ ees
x 0 , . . . , x n−1 permet de v´ erifier que
η n = Loi(X n ) = η 0 K 1,η0 . . . K n,ηn−1 = η n−1 K n,ηn−1
3.3 Interpr´ etations particulaires en champ moyen
Supposons dans un premier temps que les transitions de la chaˆ ıne
X n−1 X n
sont faciles ` a simuler. Dans ces conditions, pour approcher les lois η n de la
chaˆ ıne ` a chaque instant, il suffit de simuler N copies ind´ ependantes (X
i
n ) 1≤i≤N
de la chaˆ ıne X n . Ce sch´ ema de simulation num´ erique est illustr´ e par la figure
suivante
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Nous ´ etudierons ces mod` eles math´ ematiques avec plus de d´ etails dans la
section 3.2. Il me semble important de souligner que ces mod` eles discrets sont
tr` es proches des ´ equations ` a temps continu issues de la m´ ecanique des fluides,
telles les ´ equations diffusives de type McKean-Vlasov et/ou les mod` eles de
gaz de type Boltzmann.
3.2 Description des mod` eles
La plus simple fa¸ con de d´ efinir une chaˆ ıne de Markov non lin´ eaire est de se
donner un chaˆ ıne de Markov (X n ) n≥0 de loi initiale η 0 = Loi(X 0 ) sur E 0 et
de transitions de probabilit´ es ´ el´ ementaires d’un espace E n−1 vers un espace
E n d´ ecrites par une formule de la forme (3.1). Dans la d´ efinition pr´ ec´ edente,
K n,ηn−1 (x n−1 , dx n ) d´ esigne une famille de probabilit´ es de transitions de E n−1
vers un espace E n , index´ ees par le param` etre temporel et par une mesure η n−1
sur E n−1 .
On v´ erifie par r´ ecurrence ` a partir de 3.1 que
P
(X 0 , . . . , X n ) ∈ d(x 0 , . . . , x n )
= η 0 (dx 0 ) K 1,η0 (x 0 , dx 1 ) . . . K n,ηn−1 (x n−1 , dx n )
Ces mesures sont appel´ ees les mesures de McKean associ´ ees aux transitions de
probabilit´ es (K n,η ) n,η . Une simple int´ egration par rapports aux coordonn´ ees
x 0 , . . . , x n−1 permet de v´ erifier que
η n = Loi(X n ) = η 0 K 1,η0 . . . K n,ηn−1 = η n−1 K n,ηn−1
3.3 Interpr´ etations particulaires en champ moyen
Supposons dans un premier temps que les transitions de la chaˆ ıne
X n−1 X n
sont faciles ` a simuler. Dans ces conditions, pour approcher les lois η n de la
chaˆ ıne ` a chaque instant, il suffit de simuler N copies ind´ ependantes (X
i
n ) 1≤i≤N
de la chaˆ ıne X n . Ce sch´ ema de simulation num´ erique est illustr´ e par la figure
suivante