64
3 Chaˆ ınes de Markov non lin´ eaires
L’´ equation d’´ evolution compl` ete du syst` eme peut se r´ esumer par le diagramme synth´ etique suivant :
ξ
(1,N )
n
. . .
ξ
(i,N )
n
. . .
ξ
(N,N )
n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
S n,η N
n
− − − − − − − − − −→
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
ξ
(1,N )
n
Mn+1
− − − − − − − − − −→
. . .
ξ
(i,N )
n
− − − − − − − − − −→
. . .
ξ
(N,N )
n
− − − − − − − − − −→
ξ
(1,N )
n+1
. . .
ξ
(i,N )
n+1
. . .
ξ
(N,N )
n+1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
avec les probabilit´ es d’acceptation-rejets :
S n,η N
n
(ξ
(i,N )
n
, dx) := n (η
N
n ) G n (ξ
(i,N )
n
) δ ξ
(i,N )
n
(dx)
+
1 − n (η
N
n )G n (ξ
(i,N )
n
)
Ψ n (η
N
n )(dx)
o` u
Ψ n (η
N
n )(dx) =
1
η N
n (G n )
G n (x) η
N
n (dx) =
N
j=1
G n (ξ
(j,N )
n
)
N
k=1 G n (ξ
(k,N )
n
)
δ ξ
(j,N )
n
(dx)
Le choix du param` etre d’acceptation n’est pas unique. L’algorithme g´ en´ etique
simple de type mutation/s´ election correspond au choix n (η
N
n ) = 0. Si on pose
n (η
N
n ) = 1/ sup i G n (ξ
(i,N )
n
), alors les ´ elites de la population qui maximisent
le potentiel sont toujours accept´ ees. Lorsque G n est explicitement connu,
on peut aussi poser n (η
N
n ) = 1/G n .
La figure 3.4 repr´ esente une r´ ealisation d’un algorithme g´ en´ etique pour
N = 10 individus.
Pour plus de d´ etails concernant ces mod` eles avec notamment la description
des arbres g´ en´ ealogiques associ´ es nous renvoyons le lecteur au chapitre 2.2.4,
ainsi
ux ouvrages [36, 37].
qu a
’