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2 Chaˆ ınes de Markov abstraites
`
A titre d’exemple, dans le cas o` u M
n+1 d´ esigne la matrice de transition d’une
marche al´ eatoire sur E
= Z
d , on peut r´ ealiser dynamiquement ces explorations locales en posant
X
i
n+1,n+1 =
X
i
n,n + U
i
n+1
o` u U
i
n+1 d´ esigne une suite de v.a. ind´ ependantes de mˆ eme loi p, sur l’ensemble
des vecteurs unitaires directionnels
U = {u ∈ Z
d : |u| = 1}
Lignes ancestrales :
L’algorithme g´ en´ etique trajectoriel d´ ecrit ci-dessus correspond bien `
a une
´ evolution d’arbres g´ en´ ealogiques.
Dans cette interpr´ etation, chaque trajectoire
X
i
n =
X
i
0,n , X
i
1,n , . . . , X
i
n,n
∈ E n = (E
)
n+1
repr´ esente la ligne ancestrale de l’individu courant X
i
n,n ` a la date n. Les
coordonn´ ees X
i
p,n , avec 0 ≤ p ≤ n, correspondent aux diff´ erents ancˆ etres de
cet individu, ` a chaque niveau temporel 0 ≤ p ≤ n.
Dans ce contexte, X
i
0,n repr´ esente l’ancˆ etre initial, X
i
1,n sa premi` ere descendance, X
i
2,n sa seconde, etc. Dans le mod` ele g´ en´ eral que nous avons d´ evelopp´ e,
les disparitions et les s´ elections de lignes ancestrales d´ ependent de la qualit´ e
de la trajectoire de descendance compl` ete. Les diff´ erents degr´ es d’adaptation
d’une lign´ ee compl` ete
x n = (x
0 , . . . , x
n ) ∈ E n
sont mesur´ es par une fonction potentiel G n (x
0 , . . . , x
n ). Lorsque ces fonctions
ne d´ ependent que des composantes terminales, c’est-` a-dire lorsque l’on a
G n (x
0 , . . . , x
n ) = G
n (x
n ) ,
la s´ election des lignes ancestrales ne d´ epend que de la qualit´ e d’adaptation du
dernier descendant. Dans cette situation, nous laissons le soin au lecteur
de se convaincre que ce mod` ele trajectoriel correspond ` a l’arbre g´ en´ ealogique
d’une population d’individus explorant l’espace E
selon M
n , et s’adaptant
aux fonctions potentiel de s´ election G
n .
La figure 2.5 repr´ esente les arbres g´ en´ ealogiques complets et ancestraux de
N = 7 individus. L’´ etape de s´ election est repr´ esent´ ee par des sauts interactifs
entre les individus.
2 Chaˆ ınes de Markov abstraites
`
A titre d’exemple, dans le cas o` u M
n+1 d´ esigne la matrice de transition d’une
marche al´ eatoire sur E
= Z
d , on peut r´ ealiser dynamiquement ces explorations locales en posant
X
i
n+1,n+1 =
X
i
n,n + U
i
n+1
o` u U
i
n+1 d´ esigne une suite de v.a. ind´ ependantes de mˆ eme loi p, sur l’ensemble
des vecteurs unitaires directionnels
U = {u ∈ Z
d : |u| = 1}
Lignes ancestrales :
L’algorithme g´ en´ etique trajectoriel d´ ecrit ci-dessus correspond bien `
a une
´ evolution d’arbres g´ en´ ealogiques.
Dans cette interpr´ etation, chaque trajectoire
X
i
n =
X
i
0,n , X
i
1,n , . . . , X
i
n,n
∈ E n = (E
)
n+1
repr´ esente la ligne ancestrale de l’individu courant X
i
n,n ` a la date n. Les
coordonn´ ees X
i
p,n , avec 0 ≤ p ≤ n, correspondent aux diff´ erents ancˆ etres de
cet individu, ` a chaque niveau temporel 0 ≤ p ≤ n.
Dans ce contexte, X
i
0,n repr´ esente l’ancˆ etre initial, X
i
1,n sa premi` ere descendance, X
i
2,n sa seconde, etc. Dans le mod` ele g´ en´ eral que nous avons d´ evelopp´ e,
les disparitions et les s´ elections de lignes ancestrales d´ ependent de la qualit´ e
de la trajectoire de descendance compl` ete. Les diff´ erents degr´ es d’adaptation
d’une lign´ ee compl` ete
x n = (x
0 , . . . , x
n ) ∈ E n
sont mesur´ es par une fonction potentiel G n (x
0 , . . . , x
n ). Lorsque ces fonctions
ne d´ ependent que des composantes terminales, c’est-` a-dire lorsque l’on a
G n (x
0 , . . . , x
n ) = G
n (x
n ) ,
la s´ election des lignes ancestrales ne d´ epend que de la qualit´ e d’adaptation du
dernier descendant. Dans cette situation, nous laissons le soin au lecteur
de se convaincre que ce mod` ele trajectoriel correspond ` a l’arbre g´ en´ ealogique
d’une population d’individus explorant l’espace E
selon M
n , et s’adaptant
aux fonctions potentiel de s´ election G
n .
La figure 2.5 repr´ esente les arbres g´ en´ ealogiques complets et ancestraux de
N = 7 individus. L’´ etape de s´ election est repr´ esent´ ee par des sauts interactifs
entre les individus.