2.2 Quelques illustrations
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Exercice 2.2.2 1. Pour toutes fonctions born´ ees f n sur E n , exprimer les
variables al´ eatoires
pn
i=1 f n (
X
i
n ) en fonction de p n , X n , et des variables
g
i
n (on utilisera la convention
∅ = 0, lorsque la population est ´ eteinte).
2. On consid` ere les mesures empiriques al´ eatoires
s(x n ) = def.
p
i=1
δ x i
n
pour chaque x n = (x
i
n ) 1≤i≤d ∈ E
p
n
Pour toute fonction born´ ee f n sur E n , calculer les moyennes conditionnelles
E(s(
X n )(f n ) | X n ) et E(s(X n+1 )(f n+1 ) |
X n )
En d´ eduire que
E(s(X n+1 )(f n+1 ) | X n ) = s(X n )(G n M n+1 (f n+1 ))
3. V´ erifier que les premiers moments des dynamiques de population sont
donn´ es par la formule suivante
E(s(X n+1 )(f n+1 )) = E x0 (f n+1 (X n+1 )
n
k=0
G k (X k ))
Algorithme g´ en´ etique
En termes biologiques, les algorithmes g´ en´ etiques repr´ esentent les dynamiques de population ` a nombre constant d’individus. Ces individus explorent
des r´ egions plus ou moins accueillantes, selon des m´ ecanismes de mutation et
de s´ election. Les individus meurent ou donnent naissance ` a des enfants suivant
la qualit´ e de leur milieu, mesur´ ee en terme d’une fonction potentiel.
Dans la section 8.3, nous montrerons que ces mod` eles g´ en´ etiques sont une
simple expression “microscopique” des mod` eles d’´ evolution-absorption ´ etudi´ es
dans la section 2.2.3.
Leurs interpr´ etations sont `
a l’image des diff´ erents domaines d’applications
d´ ecrits ` a la page 31.
Lorsque la fonction potentiel repr´ esente des niveaux de s´ ecurit´ e, tels des
risques de collisions dans des a´ eroports, l’´ etape de s´ election permet par
exemple de choisir les configurations les moins s´ ecuris´ ees. L’´ etape de mutation consiste alors `
a explorer plus en profondeur les risques de collisions suivantes. Dans ce contexte, l’algorithme g´ en´ etique peut s’interpr´ eter comme
des s´ equences d’´ evolutions probables conduisant `
a des collisions d’avion.
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Exercice 2.2.2 1. Pour toutes fonctions born´ ees f n sur E n , exprimer les
variables al´ eatoires
pn
i=1 f n (
X
i
n ) en fonction de p n , X n , et des variables
g
i
n (on utilisera la convention
∅ = 0, lorsque la population est ´ eteinte).
2. On consid` ere les mesures empiriques al´ eatoires
s(x n ) = def.
p
i=1
δ x i
n
pour chaque x n = (x
i
n ) 1≤i≤d ∈ E
p
n
Pour toute fonction born´ ee f n sur E n , calculer les moyennes conditionnelles
E(s(
X n )(f n ) | X n ) et E(s(X n+1 )(f n+1 ) |
X n )
En d´ eduire que
E(s(X n+1 )(f n+1 ) | X n ) = s(X n )(G n M n+1 (f n+1 ))
3. V´ erifier que les premiers moments des dynamiques de population sont
donn´ es par la formule suivante
E(s(X n+1 )(f n+1 )) = E x0 (f n+1 (X n+1 )
n
k=0
G k (X k ))
Algorithme g´ en´ etique
En termes biologiques, les algorithmes g´ en´ etiques repr´ esentent les dynamiques de population ` a nombre constant d’individus. Ces individus explorent
des r´ egions plus ou moins accueillantes, selon des m´ ecanismes de mutation et
de s´ election. Les individus meurent ou donnent naissance ` a des enfants suivant
la qualit´ e de leur milieu, mesur´ ee en terme d’une fonction potentiel.
Dans la section 8.3, nous montrerons que ces mod` eles g´ en´ etiques sont une
simple expression “microscopique” des mod` eles d’´ evolution-absorption ´ etudi´ es
dans la section 2.2.3.
Leurs interpr´ etations sont `
a l’image des diff´ erents domaines d’applications
d´ ecrits ` a la page 31.
Lorsque la fonction potentiel repr´ esente des niveaux de s´ ecurit´ e, tels des
risques de collisions dans des a´ eroports, l’´ etape de s´ election permet par
exemple de choisir les configurations les moins s´ ecuris´ ees. L’´ etape de mutation consiste alors `
a explorer plus en profondeur les risques de collisions suivantes. Dans ce contexte, l’algorithme g´ en´ etique peut s’interpr´ eter comme
des s´ equences d’´ evolutions probables conduisant `
a des collisions d’avion.