2.2 Quelques illustrations
35
La dynamique d’exploration de chaque individu est associ´ ee ` a des transitions markoviennes M n de E n−1 vers E n . Les m´ ecanismes de branchements
d´ ependent de fonctions potentiel G n : E n → [0, ∞) repr´ esentant les diff´ erents
degr´ es de “fertilit´ e” du milieu. Plus pr´ ecis´ ement, un individu sur un site
x n ∈ E n donnera naissance `
a un nombre al´ eatoire d’enfants g n (x n ) avec
E(g n (x n )) = G n (x n )
Pour illustrer ce mod` ele, on peut supposer que les populations ´ evoluent dans
le r´ eseau du plan E n = Z
2 selon une marche al´ eatoire simple, et les variables
al´ eatoires de branchement sont de Bernoulli
P (g n (x n ) = [G n (x)] + 1) = G n (x n ) − [G n (x n )]
= 1 − P (g n (x n ) = [G n (x)])
o` u [a] d´ esigne la partie enti` ere d’un nombre a ∈ [0, ∞). On peut aussi choisir
des branchements poissonniens
∀m ∈ N
P(g n (x n ) = m) =
G n (x n )
m
m!
exp (−G n (x n ) m)
Pour d´ efinir plus formellement notre dynamique de population, il convient
d’introduire une suite de variable (g
i
n (x n )) i≥1 ind´ ependantes, et de mˆ eme loi
que g n (x n ). On supposera de plus que les variables sur des sites distincts sont
ind´ ependantes.
Nous sommes enfin en mesure de construire r´ ecursivement le mod` ele. Initialement, la population X 0 est form´ ee d’un seul individu X
1
0 dans l’´ etat
x 0 ∈ E 0
X 0 = X
1
0 = x 0 ∈ E
p0
0 = E
1
0
Cet individu donne naissance `
a
p 0 = g
1
0 (X
1
0 )
enfants que l’on note
X 0 = (
X
1
0 , . . . ,
X
p0
0 ) ∈ E
p0
0
Chacun d’entre eux explore al´ eatoirement l’espace
X
i
0 X
i
1 selon la transition M 1 . Cette transition revient ` a simuler
p 0 variables al´ eatoires X
i
1 de loi
M 1 (
X
i
0 , dx 1 ). Lorsque cette ´ etape d’exploration est termin´ ee, nous avons une
population form´ ee de
p 1 =
p 0
individus. Cette transition peut s’exprimer de fa¸ con synth´ etique par la formule
suivante :
X 0 = (
X
1
0 , . . . ,
X
p0
0 ) X 1 = (X
1
1 , . . . , X
p1
1 )
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La dynamique d’exploration de chaque individu est associ´ ee ` a des transitions markoviennes M n de E n−1 vers E n . Les m´ ecanismes de branchements
d´ ependent de fonctions potentiel G n : E n → [0, ∞) repr´ esentant les diff´ erents
degr´ es de “fertilit´ e” du milieu. Plus pr´ ecis´ ement, un individu sur un site
x n ∈ E n donnera naissance `
a un nombre al´ eatoire d’enfants g n (x n ) avec
E(g n (x n )) = G n (x n )
Pour illustrer ce mod` ele, on peut supposer que les populations ´ evoluent dans
le r´ eseau du plan E n = Z
2 selon une marche al´ eatoire simple, et les variables
al´ eatoires de branchement sont de Bernoulli
P (g n (x n ) = [G n (x)] + 1) = G n (x n ) − [G n (x n )]
= 1 − P (g n (x n ) = [G n (x)])
o` u [a] d´ esigne la partie enti` ere d’un nombre a ∈ [0, ∞). On peut aussi choisir
des branchements poissonniens
∀m ∈ N
P(g n (x n ) = m) =
G n (x n )
m
m!
exp (−G n (x n ) m)
Pour d´ efinir plus formellement notre dynamique de population, il convient
d’introduire une suite de variable (g
i
n (x n )) i≥1 ind´ ependantes, et de mˆ eme loi
que g n (x n ). On supposera de plus que les variables sur des sites distincts sont
ind´ ependantes.
Nous sommes enfin en mesure de construire r´ ecursivement le mod` ele. Initialement, la population X 0 est form´ ee d’un seul individu X
1
0 dans l’´ etat
x 0 ∈ E 0
X 0 = X
1
0 = x 0 ∈ E
p0
0 = E
1
0
Cet individu donne naissance `
a
p 0 = g
1
0 (X
1
0 )
enfants que l’on note
X 0 = (
X
1
0 , . . . ,
X
p0
0 ) ∈ E
p0
0
Chacun d’entre eux explore al´ eatoirement l’espace
X
i
0 X
i
1 selon la transition M 1 . Cette transition revient ` a simuler
p 0 variables al´ eatoires X
i
1 de loi
M 1 (
X
i
0 , dx 1 ). Lorsque cette ´ etape d’exploration est termin´ ee, nous avons une
population form´ ee de
p 1 =
p 0
individus. Cette transition peut s’exprimer de fa¸ con synth´ etique par la formule
suivante :
X 0 = (
X
1
0 , . . . ,
X
p0
0 ) X 1 = (X
1
1 , . . . , X
p1
1 )