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2 Chaˆ ınes de Markov abstraites
g(x)<1
0
(c)
(c)
g(x)=1
Fig. 2.2. Particule absorb´ ee dans Z
2
2. V´ erifier que la loi d’une particule non aborb´ ee est donn´ ee pour toute fonction born´ ee f sur Z
d par la formule normalis´ ee de Feynman-Kac
E(f (X n ) | T > n) =
E
f (X n )
n
p=0 G p (X p )
E
n
p=0 G p (X p )
2.2.4 Dynamiques de population avec branchements
Processus de branchements spatio-temporels
Dans la section 1.3.6 nous avons ´ etudi´ e des processus de branchement
´ el´ ementaires dans lesquels chaque individu donne naissance ` a un certain
nombre d’enfants. Ces mod` eles simplifi´ es sont assez ´ eloign´ es de la r´ ealit´ e.
Tout d’abord ils ne tiennent pas compte des explorations des individus dans
l’espace. De plus, les taux de branchement sont totalement ind´ ependants des
r´ egions plus ou moins accueillantes dans lesquelles se trouvent les populations.
Dans ce qui suit, nous allons essayer d’affiner ces mod` eles stochastiques
pour rendre compte de ces deux param` etres, et essayer d’ˆ etre au plus pr` es
de la r´ ealit´ e scientifique. Nous conviendrons que les individus ´ evoluent ` a
chaque instant n dans un espace d’´ etat E n . Les populations d’individus seront
repr´ esent´ ees par des vecteurs de E
p
n . Le param` etre entier p ≥ 0 correspond ` a
la taille des populations. Lorsque p = 0, on conviendra que l’espace d’´ etat se
r´ eduit ` a un ´ etat cercueil, ou cimeti` ere E
0
n = {c}. L’espace d’´ etat du syst` eme
est donc donn´ e par l’ensemble
S n = ∪ p≥0 E
p
n
2 Chaˆ ınes de Markov abstraites
g(x)<1
0
(c)
(c)
g(x)=1
Fig. 2.2. Particule absorb´ ee dans Z
2
2. V´ erifier que la loi d’une particule non aborb´ ee est donn´ ee pour toute fonction born´ ee f sur Z
d par la formule normalis´ ee de Feynman-Kac
E(f (X n ) | T > n) =
E
f (X n )
n
p=0 G p (X p )
E
n
p=0 G p (X p )
2.2.4 Dynamiques de population avec branchements
Processus de branchements spatio-temporels
Dans la section 1.3.6 nous avons ´ etudi´ e des processus de branchement
´ el´ ementaires dans lesquels chaque individu donne naissance ` a un certain
nombre d’enfants. Ces mod` eles simplifi´ es sont assez ´ eloign´ es de la r´ ealit´ e.
Tout d’abord ils ne tiennent pas compte des explorations des individus dans
l’espace. De plus, les taux de branchement sont totalement ind´ ependants des
r´ egions plus ou moins accueillantes dans lesquelles se trouvent les populations.
Dans ce qui suit, nous allons essayer d’affiner ces mod` eles stochastiques
pour rendre compte de ces deux param` etres, et essayer d’ˆ etre au plus pr` es
de la r´ ealit´ e scientifique. Nous conviendrons que les individus ´ evoluent ` a
chaque instant n dans un espace d’´ etat E n . Les populations d’individus seront
repr´ esent´ ees par des vecteurs de E
p
n . Le param` etre entier p ≥ 0 correspond ` a
la taille des populations. Lorsque p = 0, on conviendra que l’espace d’´ etat se
r´ eduit ` a un ´ etat cercueil, ou cimeti` ere E
0
n = {c}. L’espace d’´ etat du syst` eme
est donc donn´ e par l’ensemble
S n = ∪ p≥0 E
p
n