2.2 Quelques illustrations
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2. Comme il n’y a semble-t-il pas de vie apr` es la mort, lorsque la particule
a ´ et´ e tu´ ee, elle reste inactive `
a l’instant suivant. Dans ce cas, on pose
Y n+1 = c. Dans le cas contraire, la particule est encore active, et effectue
un mouvement exploratoire analogue `
a celui d’une marche al´ eatoire sur
Z
d . Plus formellement, on pose dans ce dernier cas
Y n+1 =
Y n + U n+1
Par construction, la suite
Y 0 →
Y 0 → . . . → Y n →
Y n → Y n+1 →
Y n+1 → . . .
forme une chaˆ ıne de Markov de transitions
P(
Y n = y | Y n = x) = G(x) 1 x (y) + (1 − G(x)) 1 c (y)
P(Y n+1 = z |
Y n = y) = 1 c (y) 1 c (z) + 1 Z d (y) K(y, z)
avec la probabilit´ e de transition
K(y, z) =
u∈U
p(u) 1 y+u (z)
La figure suivante montre deux r´ ealisations de trajectoires absorb´ ees dans
des “poches” d’obstacles associ´ es ` a des r´ egions o` u le potentiel G(x) < 1.
Lorsque G(x) = 1, la particule ne subit pas le m´ ecanisme d’absorption, et
´ evolue librement comme une marche al´ eatoire sur Z
2 . Les traits pointill´ es
t´ emoignent du fait qu’une particule visitant une poche d’obstacles s’essouffle.
Sa dur´ ee de vie diminue ` a chaque instant, en “subissant” les v.a. trappes de
Bernoulli.
Exercice 2.2.1 On note T l’instant d’absorption de la particule
T = inf {n ≥ 0 :
Y n = c} = inf {n ≥ 0 : n (Y n ) = 0}
1. Montrer que
P(T > n) = E
n
p=0
G p (X p )
o` u X n d´ esigne une chaˆ ıne de Markov sur Z
d de transitions de probabilit´ es
K, et de mˆ eme loi que Y 0 sur Z
d . Lorsque le potentiel est uniform´ ement
major´ e G(x) ≤ e
−λ , avec λ > 0, montrer que
P(T > n) ≤ e
−λ(n+1)
Interpr´ eter ce r´ esultat.