32
2 Chaˆ ınes de Markov abstraites
En biologie et en recherche m´ edicale, ces mod` eles d’aborption sont
aussi utilis´ es pour mod´ eliser l’´ evolution de photons ´ emis par un laser sur
un tissu cellulaire. Les trappes repr´ esentent des r´ egions cellulaires, telles
des tumeurs plus sombres absorbant les photons. L’analyse de ces mod` eles
permet de localiser et d’analyser ces r´ egions de gonflements pathologiques
des tissus.
Enfin, ces mod` eles peuvent aussi s’interpr´ eter comme des processus
´ economiques tels des ´ evolutions de portefeuilles, ou tout autre indicateur
´ economique, dans des milieux financiers ou g´ eopolitiques-politiques.
Dans tous ces domaines d’applications, l’un des probl` emes majeurs est de
calculer les probabilit´ es de d´ efaillances, autrement dit les probabilit´ es pour
que l’aborption de la particule ne soit pas effective ` a des instants donn´ es.
Pour fixer les id´ ees, nous conviendrons par la suite que l’espace des ´ etats est
donn´ e par le r´ eseau Z
d . Plus formellement, on adjoint `
a l’espace des sites Z
d ,
un point cimeti` ere “c”. On consid` ere alors une particule ´ evoluant sur l’espace
augment´ e E = Z
d
∪ {c}, selon une transition Y n Y n+1 se d´ ecomposant en
deux ´ etapes
Y n
absorption
− − − − − − − −→
Y n
´ evolution
− − − − − − − −→ Y n+1
Pour construire le m´ ecanisme d’absorption, on consid` ere `
a chaque instant
n, une collection de v.a. ind´ ependantes ( n (x)) x∈Z d , de Bernoulli `
a valeurs
dans {0, 1}, de param` etre G(x). Sur l’´ ev´ enement n (x) = 0, le site x devient
une pure trappe hautement absorbante. Inversement, si n (x) = 1, le site x
reste viable, et la particule peut le traverser sans encombre.
Le m´ ecanisme d’´ evolution libre est analogue `
a celui de la marche al´ eatoire
sur Z
d pr´ esent´ e dans l’exemple 1.3.4. Pour le d´ ecrire, on se donne une mesure
de probabilit´ e p, sur l’ensemble des 2d vecteurs unitaires directionnels
U = {u ∈ Z
d : |u| = 1}
ainsi qu’une suite de vecteurs ind´ ependants (U n ) n≥1 de mˆ eme loi p sur U . On
suppose que les suites de v.a. d’exploration U n , et de v.a. d’absorption n (x),
sont ind´ ependantes. On convient enfin que n (c) = 0 = g(c).
Les transitions ´ el´ ementaires de la chaˆ ıne sont d´ efinies r´ ecursivement de la
fa¸ con suivante. Supposons que la particule se trouve `
a l’instant n sur un site
Y n = x ∈ Z
d (si Y n = c, on pose Y n+1 = c).
1. Avec une probabilit´ e (1 − G(x)), la particule est tu´ ee, puis plac´ ee dans
l’´ etat cimeti` ere. Dans ce cas, on pose
Y n = c. Dans le cas contraire, la
particule reste active et l’on pose
Y n = x. Plus formellement, on a
Y n = n (Y n ) Y n + (1 − n (Y n )) c
2 Chaˆ ınes de Markov abstraites
En biologie et en recherche m´ edicale, ces mod` eles d’aborption sont
aussi utilis´ es pour mod´ eliser l’´ evolution de photons ´ emis par un laser sur
un tissu cellulaire. Les trappes repr´ esentent des r´ egions cellulaires, telles
des tumeurs plus sombres absorbant les photons. L’analyse de ces mod` eles
permet de localiser et d’analyser ces r´ egions de gonflements pathologiques
des tissus.
Enfin, ces mod` eles peuvent aussi s’interpr´ eter comme des processus
´ economiques tels des ´ evolutions de portefeuilles, ou tout autre indicateur
´ economique, dans des milieux financiers ou g´ eopolitiques-politiques.
Dans tous ces domaines d’applications, l’un des probl` emes majeurs est de
calculer les probabilit´ es de d´ efaillances, autrement dit les probabilit´ es pour
que l’aborption de la particule ne soit pas effective ` a des instants donn´ es.
Pour fixer les id´ ees, nous conviendrons par la suite que l’espace des ´ etats est
donn´ e par le r´ eseau Z
d . Plus formellement, on adjoint `
a l’espace des sites Z
d ,
un point cimeti` ere “c”. On consid` ere alors une particule ´ evoluant sur l’espace
augment´ e E = Z
d
∪ {c}, selon une transition Y n Y n+1 se d´ ecomposant en
deux ´ etapes
Y n
absorption
− − − − − − − −→
Y n
´ evolution
− − − − − − − −→ Y n+1
Pour construire le m´ ecanisme d’absorption, on consid` ere `
a chaque instant
n, une collection de v.a. ind´ ependantes ( n (x)) x∈Z d , de Bernoulli `
a valeurs
dans {0, 1}, de param` etre G(x). Sur l’´ ev´ enement n (x) = 0, le site x devient
une pure trappe hautement absorbante. Inversement, si n (x) = 1, le site x
reste viable, et la particule peut le traverser sans encombre.
Le m´ ecanisme d’´ evolution libre est analogue `
a celui de la marche al´ eatoire
sur Z
d pr´ esent´ e dans l’exemple 1.3.4. Pour le d´ ecrire, on se donne une mesure
de probabilit´ e p, sur l’ensemble des 2d vecteurs unitaires directionnels
U = {u ∈ Z
d : |u| = 1}
ainsi qu’une suite de vecteurs ind´ ependants (U n ) n≥1 de mˆ eme loi p sur U . On
suppose que les suites de v.a. d’exploration U n , et de v.a. d’absorption n (x),
sont ind´ ependantes. On convient enfin que n (c) = 0 = g(c).
Les transitions ´ el´ ementaires de la chaˆ ıne sont d´ efinies r´ ecursivement de la
fa¸ con suivante. Supposons que la particule se trouve `
a l’instant n sur un site
Y n = x ∈ Z
d (si Y n = c, on pose Y n+1 = c).
1. Avec une probabilit´ e (1 − G(x)), la particule est tu´ ee, puis plac´ ee dans
l’´ etat cimeti` ere. Dans ce cas, on pose
Y n = c. Dans le cas contraire, la
particule reste active et l’on pose
Y n = x. Plus formellement, on a
Y n = n (Y n ) Y n + (1 − n (Y n )) c