2.2 Quelques illustrations
31
P
(W0,...,Wn) (d(w 0 , . . . , w n )) =
n
p=0
P
Wp (dw p ) =
n
p=0
1
√
2π
exp {−
w
2
p
2
} dw p
On associe `
a cette s´ equence de v.a. gaussiennes, le syst` eme dynamique
X n = a n X n−1 + σ n W n , n ≥ 1
X 0 = σ 0 W 0
(2.6)
Par construction, nous avons pour toute fonction born´ ee f
E(f (X n )|X n−1 = x n−1 )
= E(f (a n x n−1 + σ n W n )|X n−1 = x n−1 )
=
+∞
−∞
f (a n x n−1 + σ n w n )
e
−
w 2
n
2
√ 2π
dw n
=
+∞
−∞
f (x n )
1
√ 2πσ 2
n
e
−
1
2σ 2
n
(xn−an xn−1)
2
dx n =
M n (x n−1 , dx n ) f (x n )
Il est donc ´ equivalent de d´ efinir la chaˆ ıne X n soit de fa¸ con dynamique, soit
directement par la donn´ ee de ses transitions de probabilit´ es.
2.2.3 ´
Evolutions dans des milieux absorbants
En termes physiques, la chaˆ ıne de Markov suivante repr´ esente l’´ evolution
d’une particule physique dans un puits de potentiel absorbant. Ce mod` ele peut
aussi s’interpr´ eter comme une d´ esint´ egration, ou encore comme une absorption
de la radioactivit´ e dans des containers de stockages de d´ echets nucl´ eaires.
Tr` es bri` evement, une particule ´ evolue al´ eatoirement dans un environnement absorbant avec un taux de survie G(x) ∈ [0, 1], en chaque site x.
Les obstacles sont d’autant plus absorbants que les valeurs de G sont
proches de 0.
Inversement, la particule ´ evolue librement dans des r´ egions o` u G vaut
1. Les r´ egions o` u le potentiel est strictement inf´ erieur `
a 1 repr´ esentent des
obstacles dans lesquels la particule peut ˆ etre pi´ eg´ ee.
Ces trappes peuvent repr´ esenter des niveaux de s´ ecurit´ e dans tout type
d’environnements, tels des a´ eroports, des milieux carc´ eraux, des chaˆ ınes de
production, des r´ eseaux de t´ el´ ecommunications, des containers de stockage
de radioactivit´ e, des tissus cellulaires, etc.
En pharmacologie, ces mod` eles d’aborption sont aussi utilis´ es pour
mod´ eliser les ´ evolutions des taux de leucocytes dans des traitements du
cancer. Dans ce contexte, les trappes refl` etent des chutes de niveaux de
leucocytes dans lesquels un individu risque de d´ ec´ eder.
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P
(W0,...,Wn) (d(w 0 , . . . , w n )) =
n
p=0
P
Wp (dw p ) =
n
p=0
1
√
2π
exp {−
w
2
p
2
} dw p
On associe `
a cette s´ equence de v.a. gaussiennes, le syst` eme dynamique
X n = a n X n−1 + σ n W n , n ≥ 1
X 0 = σ 0 W 0
(2.6)
Par construction, nous avons pour toute fonction born´ ee f
E(f (X n )|X n−1 = x n−1 )
= E(f (a n x n−1 + σ n W n )|X n−1 = x n−1 )
=
+∞
−∞
f (a n x n−1 + σ n w n )
e
−
w 2
n
2
√ 2π
dw n
=
+∞
−∞
f (x n )
1
√ 2πσ 2
n
e
−
1
2σ 2
n
(xn−an xn−1)
2
dx n =
M n (x n−1 , dx n ) f (x n )
Il est donc ´ equivalent de d´ efinir la chaˆ ıne X n soit de fa¸ con dynamique, soit
directement par la donn´ ee de ses transitions de probabilit´ es.
2.2.3 ´
Evolutions dans des milieux absorbants
En termes physiques, la chaˆ ıne de Markov suivante repr´ esente l’´ evolution
d’une particule physique dans un puits de potentiel absorbant. Ce mod` ele peut
aussi s’interpr´ eter comme une d´ esint´ egration, ou encore comme une absorption
de la radioactivit´ e dans des containers de stockages de d´ echets nucl´ eaires.
Tr` es bri` evement, une particule ´ evolue al´ eatoirement dans un environnement absorbant avec un taux de survie G(x) ∈ [0, 1], en chaque site x.
Les obstacles sont d’autant plus absorbants que les valeurs de G sont
proches de 0.
Inversement, la particule ´ evolue librement dans des r´ egions o` u G vaut
1. Les r´ egions o` u le potentiel est strictement inf´ erieur `
a 1 repr´ esentent des
obstacles dans lesquels la particule peut ˆ etre pi´ eg´ ee.
Ces trappes peuvent repr´ esenter des niveaux de s´ ecurit´ e dans tout type
d’environnements, tels des a´ eroports, des milieux carc´ eraux, des chaˆ ınes de
production, des r´ eseaux de t´ el´ ecommunications, des containers de stockage
de radioactivit´ e, des tissus cellulaires, etc.
En pharmacologie, ces mod` eles d’aborption sont aussi utilis´ es pour
mod´ eliser les ´ evolutions des taux de leucocytes dans des traitements du
cancer. Dans ce contexte, les trappes refl` etent des chutes de niveaux de
leucocytes dans lesquels un individu risque de d´ ec´ eder.