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2 Chaˆ ınes de Markov abstraites
au th´ eor` eme central de la limite. Ce dernier nous informe que toute accumulation de petites fluctuations ind´ ependantes, et de nature quelconque, se
traduit asymptotiquement et irr´ em´ ediablement par une variable gaussienne.
Tout ph´ enom` ene r´ esultant d’une addition d’effets al´ eatoires ind´ ependants est
donc n´ ecessairement de nature gaussienne. Dans de nombreux probl` emes pratiques, il est donc naturel de consid´ erer comme gaussiennes les erreurs de
mesures, et les erreurs de mod´ elisation.
Formulation canonique
Les syst` emes lin´ eaires et gaussiens X = (X n ) n≥0 sont d´ efinis par la donn´ ee
d’une suite de v.a. ` a valeurs r´ eelles de lois marginales
P
(X0,...,Xn) (d(x 0 , . . . , x n )) =
⎡
⎢
⎣
n
p=1
e
−
(xp −ap x p−1 ) 2
2σ 2
p
2πσ 2
p
dx p
⎤
⎥
⎦
e
−
x 2
0
2σ 2
0
2πσ 2
0
dx 0 (2.5)
Dans le formule ci-dessus (a n ) n≥1 d´ esigne une suite de nombres r´ eels, et
(σ n ) n≥0 une suite de nombres strictement positifs.
En int´ egrant la formule (2.5) en la coordonn´ ee x n , on montre facilement
que
P
Xn|(X0,...,Xn−1) (dx n |x 0 , . . . , x n−1 )
= P
Xn|Xn−1 (dx n |x n−1 )
= M n (x n−1 , dx n ) = d´ ef.
1
√ 2πσ 2
n
exp {−
1
2σ 2
n
(x n − a n x n−1 )
2
} dx n
pour tout n ≥ 1, et x 0 , . . . , x n−1 ∈ R. De mˆ eme, on montre que la loi de la
condition initiale X 0 est donn´ ee par
P
X0 (dx 0 ) = η 0 (dx 0 ) = d´ ef.
1
2πσ 2
0
exp {−
x
2
0
2σ 2
0
} dx 0
La formule multiplicative (2.5) doit donc se lire comme une formule de Bayes
s´ equentielle
P
(X0,...,Xn) (d(x 0 , . . . , x n )) =
n
p=1
P
Xp|Xp−1 (dx p |x p−1 )
P
X0 (dx 0 )
= η 0 (dx 0 ) M 1 (x 0 , dx 1 ) . . . M n (x n−1 , dx n )
Formulation dynamique
Notons W = (W n ) n≥0 une suite de v.a. ind´ ependantes et gaussiennes, et
telles que
2 Chaˆ ınes de Markov abstraites
au th´ eor` eme central de la limite. Ce dernier nous informe que toute accumulation de petites fluctuations ind´ ependantes, et de nature quelconque, se
traduit asymptotiquement et irr´ em´ ediablement par une variable gaussienne.
Tout ph´ enom` ene r´ esultant d’une addition d’effets al´ eatoires ind´ ependants est
donc n´ ecessairement de nature gaussienne. Dans de nombreux probl` emes pratiques, il est donc naturel de consid´ erer comme gaussiennes les erreurs de
mesures, et les erreurs de mod´ elisation.
Formulation canonique
Les syst` emes lin´ eaires et gaussiens X = (X n ) n≥0 sont d´ efinis par la donn´ ee
d’une suite de v.a. ` a valeurs r´ eelles de lois marginales
P
(X0,...,Xn) (d(x 0 , . . . , x n )) =
⎡
⎢
⎣
n
p=1
e
−
(xp −ap x p−1 ) 2
2σ 2
p
2πσ 2
p
dx p
⎤
⎥
⎦
e
−
x 2
0
2σ 2
0
2πσ 2
0
dx 0 (2.5)
Dans le formule ci-dessus (a n ) n≥1 d´ esigne une suite de nombres r´ eels, et
(σ n ) n≥0 une suite de nombres strictement positifs.
En int´ egrant la formule (2.5) en la coordonn´ ee x n , on montre facilement
que
P
Xn|(X0,...,Xn−1) (dx n |x 0 , . . . , x n−1 )
= P
Xn|Xn−1 (dx n |x n−1 )
= M n (x n−1 , dx n ) = d´ ef.
1
√ 2πσ 2
n
exp {−
1
2σ 2
n
(x n − a n x n−1 )
2
} dx n
pour tout n ≥ 1, et x 0 , . . . , x n−1 ∈ R. De mˆ eme, on montre que la loi de la
condition initiale X 0 est donn´ ee par
P
X0 (dx 0 ) = η 0 (dx 0 ) = d´ ef.
1
2πσ 2
0
exp {−
x
2
0
2σ 2
0
} dx 0
La formule multiplicative (2.5) doit donc se lire comme une formule de Bayes
s´ equentielle
P
(X0,...,Xn) (d(x 0 , . . . , x n )) =
n
p=1
P
Xp|Xp−1 (dx p |x p−1 )
P
X0 (dx 0 )
= η 0 (dx 0 ) M 1 (x 0 , dx 1 ) . . . M n (x n−1 , dx n )
Formulation dynamique
Notons W = (W n ) n≥0 une suite de v.a. ind´ ependantes et gaussiennes, et
telles que