28
2 Chaˆ ınes de Markov abstraites
Cette ´ equation s’exprime aussi sous la forme trajectorielle suivante
E(f n+1 (X n+1 ) | X n = x n )
=
(y
0 ,...,y
n+1 )∈En+1
f n+1 (y
0 , . . . , y
n+1 ) δ (x
0 ,...,x
n ) (d(y
0 , . . . , y
n ))M
n+1 (y
n , dy
n+1 )
La derni` ere formule montre que X n est une chaˆ ıne de Markov, de probabilit´ es
de transitions M n+1 de E n vers E n+1 , donn´ ees par la formule
M n+1 ((x
0 , . . . , x
n ), d(y
0 , . . . , y
n+1 ))
= δ (x
0 ,...,x
n ) (d(y
0 , . . . , y
n )) M
n+1 (y
n , dy
n+1 )
Ces processus historiques interviennent de fa¸ con naturelle dans divers
probl` emes issus de la physique, ou de la biologie. Ils offrent un cadre markovien
naturel pour mod´ eliser et analyser des ´ evolutions al´ eatoires complexes, li´ ees
le plus souvent ` a des effets de d´ ependance trajectorielles. Ainsi, dans la section 2.2.4, ces processus historiques nous permettrons de d´ efinir des mod` eles
d’arbres g´ en´ ealogiques en terme d’algorithmes g´ en´ etiques trajectoriels. Dans
la section 4, nous utiliserons `
a nouveau ces mod` eles pour repr´ esenter des explorations ´ evolutionnaires bas´ ees sur des m´ ecanismes de m´ emoire renfor¸ cant
les probabilit´ es de retours vers des sites qui ont d´ ej` a ´ et´ e visit´ es.
2.2 Quelques illustrations
2.2.1 Processus de Poisson
Le processus de Poisson est souvent associ´ e ` a des ph´ enom` enes de comptages dans le temps : arriv´ ees de clients dans une file d’attente, nombres de
transactions journali` eres autour d’une action boursi` ere, arriv´ ees et d´ eparts
d’avions dans des a´ eroports, nombres d’appels dans un central t´ el´ ephonique,
etc. Nous renvoyons le lecteur ` a l’ouvrage de F.A. Haight [89] consacr´ e aux
diff´ erentes applications de ce processus.
D’un point de vue math´ ematique, le processus de Poisson est d´ efini en
terme d’une suite de v.a. (T n ) n≥0 , ` a valeurs positives, et de lois marginales
donn´ ees par la formule
P
(T0,...,Tn) (d(t 0 , . . . , t n ))
= [1 [0,∞) (t 0 ) λ e
−λt0 dt 0 ][1 [t0,∞) (t 1 ) λ e
−λ(t1−t0) dt 1 ]
. . . × [1 [tn−1,∞) (t n ) λ e
−λ(tn−tn−1) dt n ]
(2.4)
2 Chaˆ ınes de Markov abstraites
Cette ´ equation s’exprime aussi sous la forme trajectorielle suivante
E(f n+1 (X n+1 ) | X n = x n )
=
(y
0 ,...,y
n+1 )∈En+1
f n+1 (y
0 , . . . , y
n+1 ) δ (x
0 ,...,x
n ) (d(y
0 , . . . , y
n ))M
n+1 (y
n , dy
n+1 )
La derni` ere formule montre que X n est une chaˆ ıne de Markov, de probabilit´ es
de transitions M n+1 de E n vers E n+1 , donn´ ees par la formule
M n+1 ((x
0 , . . . , x
n ), d(y
0 , . . . , y
n+1 ))
= δ (x
0 ,...,x
n ) (d(y
0 , . . . , y
n )) M
n+1 (y
n , dy
n+1 )
Ces processus historiques interviennent de fa¸ con naturelle dans divers
probl` emes issus de la physique, ou de la biologie. Ils offrent un cadre markovien
naturel pour mod´ eliser et analyser des ´ evolutions al´ eatoires complexes, li´ ees
le plus souvent ` a des effets de d´ ependance trajectorielles. Ainsi, dans la section 2.2.4, ces processus historiques nous permettrons de d´ efinir des mod` eles
d’arbres g´ en´ ealogiques en terme d’algorithmes g´ en´ etiques trajectoriels. Dans
la section 4, nous utiliserons `
a nouveau ces mod` eles pour repr´ esenter des explorations ´ evolutionnaires bas´ ees sur des m´ ecanismes de m´ emoire renfor¸ cant
les probabilit´ es de retours vers des sites qui ont d´ ej` a ´ et´ e visit´ es.
2.2 Quelques illustrations
2.2.1 Processus de Poisson
Le processus de Poisson est souvent associ´ e ` a des ph´ enom` enes de comptages dans le temps : arriv´ ees de clients dans une file d’attente, nombres de
transactions journali` eres autour d’une action boursi` ere, arriv´ ees et d´ eparts
d’avions dans des a´ eroports, nombres d’appels dans un central t´ el´ ephonique,
etc. Nous renvoyons le lecteur ` a l’ouvrage de F.A. Haight [89] consacr´ e aux
diff´ erentes applications de ce processus.
D’un point de vue math´ ematique, le processus de Poisson est d´ efini en
terme d’une suite de v.a. (T n ) n≥0 , ` a valeurs positives, et de lois marginales
donn´ ees par la formule
P
(T0,...,Tn) (d(t 0 , . . . , t n ))
= [1 [0,∞) (t 0 ) λ e
−λt0 dt 0 ][1 [t0,∞) (t 1 ) λ e
−λ(t1−t0) dt 1 ]
. . . × [1 [tn−1,∞) (t n ) λ e
−λ(tn−tn−1) dt n ]
(2.4)