Solutions
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En utilisant la sym´ etrie du graphe, on trouve que
η ∞ (x)M (x, y) =
|V(x)|
2|V (I)|
1
|V(x)|
1 V(x) (y)
=
1
2|V (I)|
1 V(x) (y) =
1
2|V (I)|
1 V(y) (x)
= η ∞ (y)M (y, x)
On a donc montr´ e que la mesure η ∞ est M -r´ eversible. Il en d´ ecoule que
x∈I
η ∞ (x)M (x, y) = η ∞ (y)
x∈I
M (y, x) = η ∞ (y) ⇔ η ∞ = η ∞ M
6.1.7 On a clairement
X n = a (a X n−2 + W n−1 ) + W n
= a
2 X n−2 + a
1 W n−1 + a
0 W n
= . . .
= a
n X 0 + a
n−1 W 1 + a
n−2 W 2 + . . . + a
2 W n−2 + a
1 W n−1 + a
0 W n
Lorsque X 0 = 0, les ´ etats de la chaˆ ıne
X n = a
n−1 W 1 + a
n−2 W 2 + . . . + a
2 W n−2 + a
1 W n−1 + a
0 W n
forment des variables gaussiennes centr´ ees, et de variances
σ
2
n = E(X
2
n ) = a
2(n−1) + a
2(n−2) + . . . + a
2 + 1 =
1 − a
2n
1 − a 2
On note M la transition de probabilit´ e de la chaˆ ıne
M (x, dy) =
1
√
2π
e
−
1
2 (y−ax)
2 dy
En utilisant la formule ´ el´ ementaire
(1 − a
2 ) x
2 + (y − a x)
2 = x
2 + y
2
− 2axy
= (x − a y)
2 + (1 − a
2 ) y
2
on v´ erifie que
μ(dx)M (x, dy) =
1 − a 2
2π
e
−
1−a 2
2
x
2 ×
1
√
2π
e
−
1
2 (y−ax)
2
=
√
1 − a 2
2π
e
−
1
2 {(1−a
2 ) x
2 +(y−ax)
2
}
=
√
1 − a 2
2π
e
−
1
2 {(x−ay)
2 +(1−a
2 ) y
2
}
=
1 − a 2
2π
e
−
1−a 2
2
y
2 ×
1
√
2π
e
−
1
2 (x−ay)
2
= μ(dy)M (y, dx)