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Solutions
6.1.8
Lorsque a = 0, le r´ esultat est imm´ ediat. Pour a ∈ (0, 1], on note M la
transition de probabilit´ e donn´ ee par
M (f )(x) = E
f (
√
1 − a x +
√
a W )
=
f (
√
1 − a x +
√
aw)
1
√
2π
e
−
1
2 w
2 dw
=
f (y)
1
√
2πa
e
−
1
2a (y−
√ 1−a x)
2 dy
Il reste alors ` a noter que
x
2 +
1
a
(y −
√
1 − a x)
2 =
1
a
(x
2 + y
2 ) −
2
√
1 − a
a
xy = y
2 +
1
a
(x −
√
1 − a y)
2
6.1.9
Il suffit de noter que l’on a
μ(GM (G)f 1
M (f 2 )) = μ(Gf 1 M (Gf 2 )) = μ(M (Gf 1 )Gf 2 )
pour tout couple de fonctions born´ ees (f 1 , f 2 ) sur E. En effet, d’apr` es cette
remarque, nous avons
μ(f 1
M (f 2 )) =
μ(
M (f 1 )f 2 )
6.3.1 Pour toute fonction test f sur E nous avons
M (f )(x) =
h(x, y)Q(x, dy)f (dy) +
1 −
h(x, y) Q(x, dy)
× f (x)
On en conclut que
ηM (f ) =
η(dx) M (x, dz) f (z)
=
η(dx)f (x) −
η(dx)h(x, y)Q(x, dy)f (x)
+
η(dx)h(x, y)Q(x, dy)f (dy).
Pour v´ erifier le r´ esultat demand´ e, il suffit de montrer que
η(dx)h(x, y)Q(x, dy)f (dy) =
η(dx)h(x, y)Q(x, dy)f (x)
Si on pose
D =
(x, y) ∈ E
2 : g(x, y) ≤ 1
,
alors on a les implications logiques suivantes