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Solutions
x → x 1 = (1, 0, 0, 0) → x 2 = (1, 1, 0, 0) → x 3 = (1, 1, 1, 0) → y
Chaque transition ´ el´ ementaire se produit avec une probabilit´ e 1/(d + 1). Par
cons´ equent, nous avons la minoration suivante
M
d (x, y) =
x1,...,x d−1 ∈E
M (x, x 1 )M (x 1 , x 2 ) . . . M(x d−1 , y)
≥ 1/(d + 1) × . . . × 1/(d + 1) = 1/(d + 1)
d
D’apr` es le th´ eor` eme ergodique, il existe une unique mesure invariante. Comme
la mesure uniforme η ∞ (x) = 2
−d est M -r´ eversible, on en conclut qu’elle est
l’unique mesure invariante de M .
6.1.6
1. Le graphe ´ etant sym´ etrique, on a
x ∈ V(y) ⇔ (x, y) ∈ V (I) ⇔ (y, x) ∈ V (I) ⇔ y ∈ V(x)
Par cons´ equent, on obtient
2|V (I)| =
(x,y)∈I
1 V (I) (x, y)
=
x∈I
y∈I
1 V(x) (y) =
x∈I
|V(x)|
On en d´ eduit que
x∈I
η ∞ (x) =
x∈I
|V(x)|
2|V (I)|
= 1
2. Le fait que M (x, y) est une transition de probabilit´ es est imm´ ediat. La
marche al´ eatoire associ´ ee peut ˆ etre d´ ecrite par la figure ci-dessous.
1
2
4
7
6
5
3
1/2
1/2
1/2
1/3
1/3
1/2
1/2
1/3
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1
Fig. 15.4.