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Solutions
|M
n (x, y) − η ∞ (y)| ≤ b n (y) − lim
p→∞
a p (y) ≤ (b n (y) − a n (y)) ≤ (1 − )
[n/m]
On en conclut que
η 0 M
n (y) − η ∞ (y) =
x∈E
η 0 (x) (M
n (x, y) − η ∞ (y))
n→∞
−→ 0
De mˆ eme, en utilisant le fait que η 0 M
n = (η 0 M
n−1 )M , on obtient
l’´ equation du point fixe recherch´ ee, c’est ` a dire η ∞ = η ∞ M . On v´ erifie la
derni` ere assertion en utilisant la mˆ eme d´ emarche que celle utilis´ ee ` a la fin
de l’exercice 6.1.2.
6.1.4 On a
η M-reversible ⇒ η(x)M (x, y) = η(y)M (y, x)
⇒
x∈E
η(x)M (x, y) = η(y)
x∈E
M (y, x) = η(y)
⇔ ηM (y) = η(y)
Autrement dit, si η est M -r´ eversible, alors elle est n´ ecessairement M -invariante.
Le contraire est en g´ en´ eral faux.
1. On se place sous les hypoth` eses du th´ eor` eme ergodique. Supposons qu’il
existe deux mesures invariantes η 1 , et η 2 . Dans ce cas, on a
∀i = 1, 2
η i = η i M
n
→ η ∞
o` u η ∞ est la mesure de probabilit´ e d´ ecrite dans le th´ eor` eme ergodique.
On en conclut que η 1 = η 2 = η ∞ .
2. La mesure uniforme η ∞ (x) = 1/|E| est toujours r´ eversible par rapport ` a
une matrice sym´ etrique. Autrement dit, on a
η ∞ (x)M (x, y) =
1
|E|
M (x, y) =
1
|E|
M (y, x) = η ∞ (y)M (y, x)
Par cons´ equent, on obtient η ∞ = η ∞ M .
3. Les chaˆ ınes de Markov d´ ecrites dans les deux sch´ emas suivants, sont
sym´ etriques.
Les mesures invariantes sont respectivement donn´ ees par les mesures
uniformes η ∞ = [1/3, 1/3, 1/3] dans l’exemple ` a trois points, et η ∞ =
[1/2, 1/2] dans l’exemple ` a deux points.
Dans l’exemple `
a deux points, l’hypoth` ese d’accessibilit´ e (6.2) du th´ eor` eme
ergodique est satisfaite pour m = 1, et = 1/4. Pour l’exemple ` a trois
points, l’hypoth` ese d’accessibilit´ e (6.2) du th´ eor` eme ergodique est satisfaite pour m = 1, et = 1/8(= M (2, 3) = M (3, 2)).
Solutions
|M
n (x, y) − η ∞ (y)| ≤ b n (y) − lim
p→∞
a p (y) ≤ (b n (y) − a n (y)) ≤ (1 − )
[n/m]
On en conclut que
η 0 M
n (y) − η ∞ (y) =
x∈E
η 0 (x) (M
n (x, y) − η ∞ (y))
n→∞
−→ 0
De mˆ eme, en utilisant le fait que η 0 M
n = (η 0 M
n−1 )M , on obtient
l’´ equation du point fixe recherch´ ee, c’est ` a dire η ∞ = η ∞ M . On v´ erifie la
derni` ere assertion en utilisant la mˆ eme d´ emarche que celle utilis´ ee ` a la fin
de l’exercice 6.1.2.
6.1.4 On a
η M-reversible ⇒ η(x)M (x, y) = η(y)M (y, x)
⇒
x∈E
η(x)M (x, y) = η(y)
x∈E
M (y, x) = η(y)
⇔ ηM (y) = η(y)
Autrement dit, si η est M -r´ eversible, alors elle est n´ ecessairement M -invariante.
Le contraire est en g´ en´ eral faux.
1. On se place sous les hypoth` eses du th´ eor` eme ergodique. Supposons qu’il
existe deux mesures invariantes η 1 , et η 2 . Dans ce cas, on a
∀i = 1, 2
η i = η i M
n
→ η ∞
o` u η ∞ est la mesure de probabilit´ e d´ ecrite dans le th´ eor` eme ergodique.
On en conclut que η 1 = η 2 = η ∞ .
2. La mesure uniforme η ∞ (x) = 1/|E| est toujours r´ eversible par rapport ` a
une matrice sym´ etrique. Autrement dit, on a
η ∞ (x)M (x, y) =
1
|E|
M (x, y) =
1
|E|
M (y, x) = η ∞ (y)M (y, x)
Par cons´ equent, on obtient η ∞ = η ∞ M .
3. Les chaˆ ınes de Markov d´ ecrites dans les deux sch´ emas suivants, sont
sym´ etriques.
Les mesures invariantes sont respectivement donn´ ees par les mesures
uniformes η ∞ = [1/3, 1/3, 1/3] dans l’exemple ` a trois points, et η ∞ =
[1/2, 1/2] dans l’exemple ` a deux points.
Dans l’exemple `
a deux points, l’hypoth` ese d’accessibilit´ e (6.2) du th´ eor` eme
ergodique est satisfaite pour m = 1, et = 1/4. Pour l’exemple ` a trois
points, l’hypoth` ese d’accessibilit´ e (6.2) du th´ eor` eme ergodique est satisfaite pour m = 1, et = 1/8(= M (2, 3) = M (3, 2)).