Solutions
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1. On v´ erifie la croissance de la suite `
a l’aide de la formule M
n = MM
n−1 .
Plus pr´ ecis´ ement, nous avons
M
n (x, y) =
z∈E
M (x, z)M
n−1 (z, y) ≥ a n−1 (y)
z∈E
M (x, z) = a n−1 (y)
En prenant l’infimum sur les x ∈ E, on en conclut que a n (y) ≥ a n−1 (y).
De mˆ eme, on a
M
n (x, y) =
z∈E
M (x, z)M
n−1 (z, y) ≤ b n−1 (y)
z∈E
M (x, z) = b n−1 (y)
En prenant le supremum sur les x ∈ E, on en conclut que b n (y) ≤ b n−1 (y).
2. On a clairement la premi` ere formule
M
n+m (x, y) =
z∈E
[M
m (x, z) − M
n (y, z)] M
n (z, y)
+
z∈E
M
n (y, z) M
n (z, y)
=
z∈E
[M
m (x, z) − M
n (y, z)] M
n (z, y) + M
2n (y, y)
En utilisant l’encadrement a n (y) ≤ M
n (z, y) ≤ b n (y), et apr` es avoir not´ e
que
M
m (x, z) ≥ ≥ M
n (y, z)
on obtient
(1 − ) a n (y) + M
2n (y, y) ≤ M
n+m (x, y) ≤ (1 − ) b n (y) + M
2n (y, y)
En prenant les infimum et supremum sur les x ∈ E, on en d´ eduit les
majorations
a n+m (y) ≥ (1 − ) a n (y) + M
2n (y, y)
b n+m (y) ≤ (1 − ) b n (y) + M
2n (y, y)
Une simple soustraction montre alors que
0 ≤ [b n+m (y) − a n+m (y)] ≤ (1 − ) [b n (y) − a n (y)]
3. D’apr` es ce qui pr´ ec` ede, on a
0 ≤ [b nm (y) − a nm (y)] ≤ (1 − )
n
→ 0
lorsque n ↑ ∞. La suite (b n (y) − a n (y)) n≥1 ´ etant d´ ecroissante, on en
conclut que lim n→∞ [b n (y) − a n (y)] = 0. D’autre part, en utilisant la croissance de a n , et les estim´ ees pr´ ec´ edentes, nous avons la majoration