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Solutions
par r´ ecurrence sur n. Pour n = 1 on a
1
c
p 2,1 p 1,2
p 2,1 p 1,2
+ (
1
c − 1)
p 1,2 −p 1,2
−p 2,1 p 2,1
=
1 − p 1,2 p 1,2
p 2,1 1 − p 2,1
=
p 1,1 p 1,2
p 2,1 p 2,2
= M
Supposons la formule (15.23) vraie au rang n. Dans ce cas, nous avons
M
n+1 =
1
c
p 2,1 p 1,2
p 2,1 p 1,2
p 1,1 p 1,2
p 2,1 p 2,2
+
(1−c)
n
c
p 1,2 −p 1,2
−p 2,1 p 2,1
p 1,1 p 1,2
p 2,1 p 2,2
=
1
c
p 2,1 p 1,2
p 2,1 p 1,2
+
(1−c)
n
c
p 1,2 (p 1,1 − p 2,1 ) −p 1,2 (p 2,2 − p 1,2 )
−p 2,1 (p 1,1 − p 2,1 ) p 2,1 (p 2,2 − p 1,2 )
Il reste ` a remarquer que
(1 − c) = (1 − p 1,2 − p 2,1 ) = (p 1,1 − p 2,1 ) = (p 2,2 − p 1,2 )
La fin de la preuve par r´ ecurrence est d´ esormais claire.
2. Lorsque |1 − c| < 1, on a la convergence entr´ ee par entr´ ee
lim
n→∞
M
n =
1
c
p 2,1 p 1,2
p 2,1 p 1,2
=
η ∞ (1) η ∞ (2)
η ∞ (1) η ∞ (2)
Enfin, on observe que
η ∞ M =
1
c
× [p 2,1 , p 1,2 ]
p 1,1 p 1,2
p 2,1 p 2,2
=
1
c
[p 2,1 (p 1,1 + p 1,2 ), p 1,2 (p 2,1 + p 2,2 )]
=
1
c
[p 2,1 , p 1,2 ] = η ∞
Pour v´ erifier la derni` ere assertion, on remarque que
E(f (X n )) = η 0 M
n f =
x,y∈E
η 0 (x) M
n (x, y) f (y) → η ∞ f lorsque n ↑ ∞
6.1.3