Solutions
467
6.1.2
1. Le sch´ ema d’´ evolution associ´ e `
a la matrice de transition
M =
p 1,1 p 1,2
p 2,1 p 2,2
est clairement donn´ e par
1
2
p(1,2)
p(2,1)
p(2,2)
p(1,1)
Fig. 15.1.
On remarque que
1 − c = (1 − p 1,2 ) − p 2,1 = p 1,1 − p 2,1
= (1 − p 2,1 ) − p 1,2 = p 2,2 − p 1,2 ∈ [−1, 1]
D’autre part, lorsque p 1,1 > 0, on a
(p 2,2 ≥ p 1,1 > 0 et p 1,2 ≥ p 2,1 > 0) ⇒ 1 − c ≤ p 1,1 ∧ p 2,2
= (1 − p 1,2 ) ∧ (1 − p 2,1 )
= (1 − p 1,2 ) < 1
De mˆ eme, on v´ erifie que
(p 2,2 ≥ p 1,1 et p 1,2 ≥ p 2,1 > 0) ⇒ 1 − c ≥ (−p 1,2 ) ∨ (−p 2,1 ) = −p 1,2
D’apr` es nos hypoth` eses, lorsque p 1,1 > 0, on a bien
p 2,2 ≥ p 1,1 > 0 et p 1,2 ≥ p 2,1 > 0
De plus, nous avons dans cette situation
p 1,2 = 1 − p 1,1 < 1 ⇒ (1 − c) = −p 1,2 > −1
On v´ erifie la formule
M
n =
1
c
p 2,1 p 1,2
p 2,1 p 1,2
+
(1 − c)
n
c
p 1,2 −p 1,2
−p 2,1 p 2,1
(15.23)