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Solutions
On remarque que l’on a
A t (x) = E
1 ]−∞,0] (x + σW t ) e
1
σ 2
0
x+σW t
1 ]−∞,0] (y)dy
= E
1 ]−∞,0] (x + σW t ) e
−
1
σ 2 (x+σWt)
Pour toute variable gaussienne centr´ ee r´ eduite G, on rappelle que
E
e
−aG
= e
a
2 /2
et
E
e
−aG f (G)
E (e −aG )
= E (f (G − a))
Il en d´ ecoule que pour toute variable gaussienne G m,σ de moyenne m et
de variance σ
2
E(e
−aGm,σ ) = E
e
−aσ(
Gm,σ −m
σ
)−am
= E
e
−aσG−am
= e
−am+(aσ)
2 /2
et
E
e
−aGm,σ f (G m,σ )
E (e −aGm,σ )
=
E
e
−aσG f [σG + m]
E (e −aσG )
= E (f (σ(G − aσ) + m))
Par cons´ equent, on a
A t (x) = E
1 ]−∞,0] (G x,σ
√
t ) e
−
1
σ 2 G x,σ
√
t
= e
−
x
σ 2 +
t
2 × E
1 ]−∞,0]
σ
√
tG + x − t
= e
t−2x
2σ 2
P
G ≤
t − x
σ
√
t
En termes de la fonction erfc, nous avons
P(G ≤ x) = 1 − P(G > x) = 1 −
1
√ π
∞
x
√
2
e
−y
2 dy = 1 −
1
2
erfc
x
√
2
Par cons´ equent, on obtient
A t (x) = e
t−2x
2σ 2
1 −
1
2
erfc
t − x
√
2σ 2 t
De mˆ eme, on montre que
B t (x) = A t (x) + E
1 ]0,∞[ (x + σW t )e
−
1
σ 2
񐡾 x+σW t
0
1 ]−∞,0] (y) dy
= A t (x) + E
1 ]0,∞[ (x + σW t )
Par cons´ equent, nous avons
B t (x) = A t (x) + P
x + G
√
σ 2 t ≥ 0
= A t (x) + P
G ≥ −
x
√
σ 2 t
= e
t−2x
2σ 2
1 −
1
2
erfc
t − x
√
2σ 2 t
+
1
2
erfc
−
x
√
2σ 2 t