Solutions
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avec
E x (1 T ≤t P x (X t ∈ A σ | (T , X T )))
=
t
0
P (T ∈ ds)
C
(X s ∈ dz) z (X t−s ∈ A σ )
La fin de la d´ emonstration est une cons´ equence de la premi` ere assertion,
en utilisant la partition d´ ecrite dans la premi` ere question.
3. D’apr` es ce qui pr´ ec` ede, nous avons
σ∈G N
sgn(σ)
P x (Ω t,σ ) − P x
Ω
t,σ
= −
i σ∈G N
sgn(στ i,j
σ
)
×
t
0
P (T ∈ ds)
C (i,j)
P x (X s ∈ dz) P z
⎛
⎜
⎝Xt−s ∈ A στ i,j
σ
⎞
⎟
⎠
= −
i σ ∈G N
sgn(σ
)
×
t
0
P (T ∈ ds)
C (i,j)
P x (X s ∈ dz) P z (X t−s ∈ A σ )
= −
σ ∈G N
sgn(σ
)
×
t
0
P (T ∈ ds)
C=∪i P x (X s ∈ dz) P z (X t−s ∈ A σ )
Px(Ωt,σ)−Px(Ω
t,σ )
Ceci d´ emontre la premi` ere assertion. Pour d´ emontrer la formule du
d´ eterminant, on remarque simplement que
det ((P t (x i , A j )) 1≤i,j≤N ) =
σ∈G N
sgn(σ)
1≤i,j≤N
P t (x i , A σ(j) )
=
σ∈G N
sgn(σ) P x (X t ∈ A σ )
=
σ∈G N
sgn(σ) P x (X t ∈ A σ et T > t)
= P x (X t ∈ (A 1 , . . . , A N ) et T > t)
En effet, les trajectoires ´ etant continues, d’apr` es nos hypoth` eses sur la
condition initiale et les ensembles d’arriv´ ee, nous avons
∀σ ∈ G N − {Id}
P x (X t ∈ A σ et T > t) = 0
P
P