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Solutions
4. En termes de densit´ es de probabilit´ e, la formule du d´ eterminant nous
donne
P x (X t ∈ dy ; T > t) = 1 W (y)
σ∈G N
sgn(σ)
⎛
⎝
1≤i,j≤N
p t (x i , y σ(j) )
⎞
⎠ dy
avec les densit´ es gaussiennes
p t (x i , y σ(j) ) =
1
√
4πt
exp
−
1
4t
(y σ(j) − x i )
2
=
1
√
4πt
exp
−
1
4t
(y
2
σ(j) + x
2
i )
exp
x i y σ(j)
2t
⇒
1≤i,j≤N p t (x i , y σ(j) )
=
1
√ 4πt
N
exp
−
1
4t (|y|
2 + |x|
2 )
1≤i,j≤N exp
xiy σ(j)
2t
La fin de la d´ emonstration est ´ el´ ementaire.
L’approximation donn´ ee dans le texte est d´ eduite des estimations
0 ≤
e
u
−
k k /k!
k =
u
n
n!
k≥n
u
k−n
(n−k)! (n!(n − k)!/k!)(≤ e
u )
k ≤ (u
n /n!) e
u
pour tout u ≥ 0. Pour |u| < e
−1 , on utilise le fait que
k u
k /k! = 1 +
1≤k u
k /k! ≥ 1 − |u|
1≤k |u|
k−1
(k − 1)!
(k − 1)!/k!
≥ 1 − |u| e
|u|
≥ 1 − e
−(1−e
−1 )
0, 47
pour montrer que
∀|u| < 1/e
񐡽
e
u
−
k k /k!
k ≤ 3 (|u|
n /n!) e
|u|
≤ 5 (|u|
n /n!)
Si on pose u = x i y j /(2t), en choisissant t assez grand, nous avons |u| ≤
|x i | |y j |/2t ≤ (|x|/2) t
−1/4 < 1/e et d’apr` es ce qui pr´ ec` ede