Solutions
459
2. On choisit une d´ ecomposition A := U D U
, o` u D d´ esigne la matrice diagonale form´ ee des valeurs propres λ i de A, U la matrice dont les colonnes
U i sont donn´ ees par les vecteurs propres correspondants
AU = (λ 1 U 1 , . . . , λ N U N ) = U D ⇒ A = U D U
⇒ Trace(AA
) =
1≤i≤N
λ
2
i
On remarque ensuite que
U
U = Id ⇒ d(U
U ) = 0 ⇒ U
dU = −dU
U
et on pose δU := U
dU = −dU
U . Par construction, nous avons
dA = dU D U
+ U dD U
+ U D dU
= U (U
dU D + dD + D dU
U ) U
= U (dD + δU D − D δU) U
Comme dA = dA
, on en d´ eduit
dAdA
= U (dD + δU D − D δU)
2 U
Par cons´ equent, nous avons
Trace(dA (dA)
) = Trace
(dD)
2 + (δU D)
2 + (D δU)
2
+2 dD (δU D − D δU) − 2 δU D
2 δU
On remarque que
Trace (dD δU D) =
1≤i,j≤N
(dD) i,j (δU D) j,i
=
1≤i≤N
λ i dλ i (δU ) i,i
= Trace (dD D δU)
D’autre part, nous avons
(δU D)
2
i,i =
1≤j≤N
(δU D) i,j (δU D) j,i = λ i
1≤j≤N
λ j (δU ) i,j (δU ) j,i
(D δU)
2
i,i =
1≤j≤N
(D δU) i,j (D δU) j,i = λ i
1≤j≤N
λ j (δU ) i,j (δU ) j,i
et
δU D
2 δU
i,i
=
1≤j≤N
(δU ) i,j (D
2 δU ) j,i =
1≤j≤N
λ
2
j (δU ) i,j (δU ) j,i
On en conclut que