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Solutions
..
λi= u
i
..
A u i +
.
u
i
.
A u i
=
.
u
i
.
A ui
=u
i
.
A
.
u i
+u
i
.
A
.
u i = u
i
..
A u i + 2 u
i
.
A
.
u i
On en d´ eduit la formule suivante
..
λi= u
i
..
A u i − 2 u
i
.
A [A − λ i Id]
−1 proj u ⊥
i
(
.
A u i )
Il reste ` a noter que
proj u ⊥
i
(
.
A u i ) =
j =i
u
j
.
A u i
u j
⇓
[A − λ i Id]
−1 proj u ⊥
i
(
.
A u i ) =
j =i
u
j
.
A u i
λ j − λ i
u j
La fin de la d´ emonstration est ´ el´ ementaire.
2. En choisissant h =
√
dt, on a hg i,j =
√
dtg i,j = dW
i,j
t , et hg i,i =
√
dtg i,i =
dW
i,i
t . Avec ces notations, nous avons
dλ i (A t ) := λ i (A t+dt ) − λ i (A t )
= λ i (A t + dW t ) − λ i (A t )
=
√
2 dW
i,i
t +
j =i
(dW
i,j
t )
2
λ i − λ j
h=
√
dt↓0
√
2 dW
i,i
t +
j =i
1
λ i − λ j
dt
5.3.3
1. Un calcul ´ el´ ementaire donne
(dA (dA)
) i,i =
1≤j≤N
(dA)
2
i,j =
1≤j≤N
dx
2
i,j
par cons´ equent
Trace(dA (dA)
) =
1≤i,j≤N
dx
2
i,j =
1≤j≤N
dx
2
i,i + 2
1≤i (dx i,j )
2
Pour v´ erifier la propri´ et´ e d’invariance, on remarque que
Trace(UdAU
UdA
U
)
=
Trace(U dA(dA)
U
)
Trace(M1M2)=Trace(M2M1)
=
Trace((dA)
U
UdA)
=
Trace((dA)
dA)
=
Trace(dAdA
)
Ceci ach` eve la d´ emonstration.