Solutions
457
Pour N = 2, nous avons :
V (x 1 , x 2 ) =
1
2
x 1 −
x 1 + x 2
2
2
+
x 2 −
x 1 + x 2
2
2
=
x 1 − x 2
2
2
et par cons´ equent
π(d(x 1 , x 2 )) ∝ exp
−
α
2σ 2 (x 1 − x 2 )
2
dx 1 dx 2
Il reste ` a remarquer que
exp
−
α
2σ 2 (x 1 − x 2 )
2
dx 1 =
2πσ 2 /α → π(R
2 ) = ∞
5.3.2
1. On note
.
f =
df
dt ,
..
f =
d
2 f
dt 2 les d´ eriv´ es d’une fonction lisse f par rapport au
param` etre t. Avec ces notations, nous avons
.
A u i + A
.
u i =
.
λi u i + λ i
.
u i
⇐⇒
.
A −
.
λi Id
u i = − [A − λ i Id]
.
u i
(15.21)
.
u
i u i + u
i
.
u i = 0
⇐⇒
.
u
i u i = u
i
.
u i = 0
(15.22)
En projetant (15.21) dans la direction u i , nous avons
u
i
.
A u i + u
i A
λiu
i
.
u i =
.
λi u
i u i
=1
+λ i u
i
.
u i
=0
⇒
.
λi= u
i
.
A u i
On remarquera que
.
A u i =
u
i
.
A u i
.
λi
u i +
j =i
u
j
.
A u i
u j
proj u ⊥
i
(
.
A ui)
autrement dit, nous avons
.
A −
.
λi Id
u i = proj u ⊥
i
(
.
A u i ) = − [A − λ i Id]
.
u i
.
u i = − [A − λ i Id]
−1 proj u ⊥
i
(
.
A u i )
En d´ erivant l’´ equation variationnelle du premier ordre
.
λi= u
i
.
A u i
, on
obtient