26
2 Chaˆ ınes de Markov abstraites
On note (M n M n+1 )(x n−1 , dx n+1 ) la collection de mesures sur E n+1 , index´ ee par les x n−1 ∈ E n−1 et d´ efinies pour tout B n+1 ⊂ E n+1 par la formule
de composition int´ egrale
(M n M n+1 )(x n−1 , B n+1 ) =
En
M n (x n−1 , dx n ) M n+1 (x n , B n+1 )
En terme d’indicatrices cette ´ equation s’exprime sous la forme suivante
(M n M n+1 )(1 Bn+1 )(x n−1 ) =
En
M n (x n−1 , dx n ) M n+1 (1 Bn+1 )(x n )
Plus g´ en´ eralement, on a la formule de conditionnement
E(f n+p (X n+p )|X n−1 ) = M n M n+1 . . . M n+p (f n+p )(X n−1 )
pour toute fonction f n+p born´ ee sur E n+p , et pour tout d´ ecalage d’indice
temporel p ≥ 1. Les op´ erateurs int´ egraux
M n,n+p = d´ ef. M n M n+1 . . . M n+p
avec n ≥ 1 et p ≥ 1, forment un semigroupe d’op´ erateurs int´ egraux, en ce sens
o` u
∀n ≤ m ≤ n + p
M n,n+p = M n,m M m,n+p
2.1.2 ´
Equations de Chapman-Kolmogorov
D’apr` es la formule des conditionnements emboˆ ıt´ es, nous avons
η n (f n ) = E(E(f n (X n )|X n−1 )) = E(M n (f n )(X n−1 ))
=
En−1
η n−1 (dx n−1 ) M n (f n )(x n−1 ) = η n−1 (M n (f n )) (2.2)
Soit (η n−1 M n ) la mesure sur E n d´ efinie, pour tout B n ⊂ E n , par la formule
(η n−1 M n )(1 Bn ) =
En−1
η n−1 (dx n−1 ) M n (1 Bn )(x n−1 )
Par construction, nous avons les repr´ esentations ´ equivalentes suivantes
η n (f n ) = η n−1 (M n (f n ))
=
En−1
η n−1 (dx n−1 )
En
M n (x n−1 , dx n ) f n (x n )
=
En
En−1
η n−1 (dx n−1 ) M n (x n−1 , dx n )
f n (x n )
= (η n−1 M n )(f n ) = d´ ef. η n−1 M n (f n )