2.1 Description des mod` eles
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Les probabilit´ es de transitions M n (x n−1 , dx n ) permettent de d´ efinir deux
op´ erateurs int´ egraux naturels :
1. Le premier agit `
a droite sur les fonctions born´ ees. A chacune de ces
fonctions f , on associe la fonction born´ ee M n [f ] d´ efinie par la formule
suivante
M n [f ] : x ∈ R → M n [f ](x) = d´ ef. E(f (X n )|X n−1 = x) ∈ R
2. Le second agit `
a gauche sur les mesures de probabilit´ es sur R. A chacune
de ces mesures η, on associe la mesure de probabilit´ e (ηM n ) d´ efinie par
(ηM n ) : B ⊂ R → (ηM n )(B) =
η(dx) M n (x, B) ∈ [0, 1]
Dans ce contexte, une mesure de probabilit´ e η correspond ` a un op´ erateur
int´ egral sur l’ensemble des fonctions f mesurables et born´ ees
η[f ] =
η(dx) f (x) ∈ R
Avec ce syst` eme de notations, pour les fonctions indicatrices f = 1 B d’ensembles B ⊂ R, nous avons η(B) = η[1 B ]. Lorsqu’il n’y a pas de confusions,
il est coutume de noter η(f ) et M n (f ) plutˆ ot que η[f ] et M n [f ]. Cet abus de
notation ´ evident est parfois pouss´ e `
a l’extrˆ eme. Certains auteurs notent parfois tout simplement ηf , pour insister sur le fait que cette op´ eration int´ egrale
n’est autre qu’une extension naturelle du produit matriciel.
`
A la diff´ erence des chaˆ ınes discr` etes, les lois η n (dx) des ´ etats X n de chaˆ ınes
abstraites sont donn´ ees par des ´ equations d’´ evolution int´ egrales. Il est bien
entendu hors de question d’ˆ etre tent´ e de calculer, ou d’estimer ces formules
de transport. Il convient n´ eanmoins de souligner qu’il existe des strat´ egies
num´ eriques et probabilistes pour le faire ! Ces techniques sont connues sous
le nom de m´ ethodes de Monte-Carlo, en r´ ef´ erence au fait qu’elles sont bas´ ees
sur des simulations concr` etes de trajectoires al´ eatoires.
En utilisant la propri´ et´ e de Markov, on notera que pour toute fonction
f n+1 , mesurable et born´ ee sur E n+1 , on a
E(f n+1 (X n+1 )|X n−1 ) = E( E(f n+1 (X n+1 )|X n−1 , X n ) |X n−1 )
= E( E(f n+1 (X n+1 )|X n ) |X n−1 )
= E( M n+1 (f n+1 )(X n ) |X n−1 )
= M n [M n+1 (f n+1 ])(X n−1 )
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Les probabilit´ es de transitions M n (x n−1 , dx n ) permettent de d´ efinir deux
op´ erateurs int´ egraux naturels :
1. Le premier agit `
a droite sur les fonctions born´ ees. A chacune de ces
fonctions f , on associe la fonction born´ ee M n [f ] d´ efinie par la formule
suivante
M n [f ] : x ∈ R → M n [f ](x) = d´ ef. E(f (X n )|X n−1 = x) ∈ R
2. Le second agit `
a gauche sur les mesures de probabilit´ es sur R. A chacune
de ces mesures η, on associe la mesure de probabilit´ e (ηM n ) d´ efinie par
(ηM n ) : B ⊂ R → (ηM n )(B) =
η(dx) M n (x, B) ∈ [0, 1]
Dans ce contexte, une mesure de probabilit´ e η correspond ` a un op´ erateur
int´ egral sur l’ensemble des fonctions f mesurables et born´ ees
η[f ] =
η(dx) f (x) ∈ R
Avec ce syst` eme de notations, pour les fonctions indicatrices f = 1 B d’ensembles B ⊂ R, nous avons η(B) = η[1 B ]. Lorsqu’il n’y a pas de confusions,
il est coutume de noter η(f ) et M n (f ) plutˆ ot que η[f ] et M n [f ]. Cet abus de
notation ´ evident est parfois pouss´ e `
a l’extrˆ eme. Certains auteurs notent parfois tout simplement ηf , pour insister sur le fait que cette op´ eration int´ egrale
n’est autre qu’une extension naturelle du produit matriciel.
`
A la diff´ erence des chaˆ ınes discr` etes, les lois η n (dx) des ´ etats X n de chaˆ ınes
abstraites sont donn´ ees par des ´ equations d’´ evolution int´ egrales. Il est bien
entendu hors de question d’ˆ etre tent´ e de calculer, ou d’estimer ces formules
de transport. Il convient n´ eanmoins de souligner qu’il existe des strat´ egies
num´ eriques et probabilistes pour le faire ! Ces techniques sont connues sous
le nom de m´ ethodes de Monte-Carlo, en r´ ef´ erence au fait qu’elles sont bas´ ees
sur des simulations concr` etes de trajectoires al´ eatoires.
En utilisant la propri´ et´ e de Markov, on notera que pour toute fonction
f n+1 , mesurable et born´ ee sur E n+1 , on a
E(f n+1 (X n+1 )|X n−1 ) = E( E(f n+1 (X n+1 )|X n−1 , X n ) |X n−1 )
= E( E(f n+1 (X n+1 )|X n ) |X n−1 )
= E( M n+1 (f n+1 )(X n ) |X n−1 )
= M n [M n+1 (f n+1 ])(X n−1 )