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2 Chaˆ ınes de Markov abstraites
la loi de la v.a. X n sur E n , donn´ ee pour toute fonction f n born´ ee sur E n par
la formule
E(f n (X n )) =
f n (x n ) η n (dx n ) = d´ ef. η n (f n )
Dans ce syst` eme de notations abusives, une mesure donn´ ee sur E n s’interpr` ete,
soit comme un op´ erateur int´ egral, soit comme une fonction ensembliste. Ainsi,
pour tout sous ensemble suffisamment r´ egulier B n ⊂ E n , nous avons les
repr´ esentations ´ equivalentes
η n (B n ) = P
Xn (B n ) = η n [1 Bn ]
M n (x n−1 , B n ) = P
Xn|Xn−1 (B n |x n−1 )
= P(X n ∈ B n | X n−1 = x n−1 ) = M n [1 Bn ](x n−1 )
On dit qu’une chaˆ ıne de Markov r´ eelle X = (X n ) n≥0 est absolument
continue, lorsque la v.a. initiale X 0 est absolument continue de densit´ e p 0
sur R, et lorsque ses transitions de probabilit´ es sont donn´ ees par une famille
de densit´ es de probabilit´ es {p n (x, .), x ∈ R} sur R
M n (x n−1 , dx n ) = P
Xn|Xn−1 (dx n |x n−1 ) = p n (x n−1 , x n ) dx n
(2.1)
Dans la formule pr´ ec´ edente dx n d´ esigne la mesure de Lebesgue sur R. A
titre illustratif, on pourra consid´ erer les familles de densit´ es gaussiennes, ou
exponentielles donn´ ees par les formules
p n (x, y) =
e
−
1
2 (y−x)
2
√
2π
ou p n (x, y) = 1 [0,∞) (y) (|x| + 1) e
−(|x|+1) y
Dans ce contexte, la trajectoire (X 0 , . . . , X n ) de l’origine jusqu’` a l’instant n
est une v.a. absolument continue, de loi donn´ ee par la formule
P
(X0,...,Xn) (d(x 0 , . . . , x n )) = p 0 (x 0 )p 1 (x 0 , x 1 ) . . . p n (x n−1 , x n ) dx 0 dx 1 . . . dx n
2.1.1 Semigroupe des transitions
Comme dans le cas des chaˆ ınes discr` etes, il existe un syst` eme de notations
naturel permettant de d´ ecrire les semigroupes d’´ evolution des lois des ´ etats
X n .