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Chaˆ ınes de Markov abstraites
2.1 Description des mod` eles
Comme nous l’avons soulign´ e dans l’introduction, la notion de chaˆ ıne de
Markov, est loin d’ˆ etre restreinte `
a des ph´ enom` enes al´ eatoires `
a valeurs dans
des espaces discrets. Les fluctuations de temp´ erature d’un liquide par unit´ e
de temps correspondent `
a des chaˆ ınes de Markov `
a valeurs r´ eelles. L’´ evolution
d’une cible spatiale peut ˆ etre mod´ elis´ ee par une chaˆ ıne de Markov ` a valeurs
dans l’espace euclidien R
3 , ou bien dans R
9 si l’on tient compte des coordonn´ ees de position, vitesse et acc´ el´ eration. Enfin, si l’on tient compte des
´ evolutions de cette mˆ eme cible entre certains paliers, on obtient une chaˆ ıne
de Markov `
a valeurs dans des espaces de chemins ou d’excursions.
Tous ces mod` eles physiques, s’inscrivent dans la th´ eorie abstraite des
chaˆ ınes de Markov `
a valeurs dans des espaces mesurables. Leur analyse
s’exprime de fa¸ con naturelle dans la th´ eorie de l’int´ egration de Lebesgue.
Afin d’´ eviter un langage trop technique, j’ai volontairement choisi de ne
pas inscrire cette introduction `
a l’ing´ enierie stochastique dans ce cadre trop
math´ ematique. Nous ignorerons donc les notions d’ensembles et de fonctions
mesurables, les th´ eor` emes de Fubini, et d’autres propri´ et´ es fondamentales de
la th´ eorie de l’int´ egration de Lebesgue. La nature est suffisamment stable pour
polir les erreurs et les confusions dues ` a de tels ´ ecarts. J’ai plutˆ ot essay´ e de
rester au plus pr` es de la r´ ealit´ e scientifique et technique, tout en aiguisant la
curiosit´ e math´ ematique du lecteur.
Dans la suite, on utilisera donc la terminologie “chaˆ ıne de Markov abstraite” pour d´ esigner une chaˆ ıne de Markov X n ` a valeurs dans des ensembles
suffisamment r´ eguliers E n , de transitions de probabilit´ es
M n (x n−1 , dx n ) = d´ ef. P
Xn|Xn−1 (dx n |x n−1 ) = P(X n ∈ dx n | X n−1 = x n−1 )
et de loi initiale η 0 (dx 0 ) = P
X0 (dx 0 ) sur E 0 . On note alternativement
η n (dx n ) = P
Xn (dx n ) = P(X n ∈ dx n )
P. Del Moral and C. Vergé, Modèles et méthodes stochastiques,
Mathématiques et Applications 75, DOI: 10.1007/978-3-642-54616-7_2,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014
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Chaˆ ınes de Markov abstraites
2.1 Description des mod` eles
Comme nous l’avons soulign´ e dans l’introduction, la notion de chaˆ ıne de
Markov, est loin d’ˆ etre restreinte `
a des ph´ enom` enes al´ eatoires `
a valeurs dans
des espaces discrets. Les fluctuations de temp´ erature d’un liquide par unit´ e
de temps correspondent `
a des chaˆ ınes de Markov `
a valeurs r´ eelles. L’´ evolution
d’une cible spatiale peut ˆ etre mod´ elis´ ee par une chaˆ ıne de Markov ` a valeurs
dans l’espace euclidien R
3 , ou bien dans R
9 si l’on tient compte des coordonn´ ees de position, vitesse et acc´ el´ eration. Enfin, si l’on tient compte des
´ evolutions de cette mˆ eme cible entre certains paliers, on obtient une chaˆ ıne
de Markov `
a valeurs dans des espaces de chemins ou d’excursions.
Tous ces mod` eles physiques, s’inscrivent dans la th´ eorie abstraite des
chaˆ ınes de Markov `
a valeurs dans des espaces mesurables. Leur analyse
s’exprime de fa¸ con naturelle dans la th´ eorie de l’int´ egration de Lebesgue.
Afin d’´ eviter un langage trop technique, j’ai volontairement choisi de ne
pas inscrire cette introduction `
a l’ing´ enierie stochastique dans ce cadre trop
math´ ematique. Nous ignorerons donc les notions d’ensembles et de fonctions
mesurables, les th´ eor` emes de Fubini, et d’autres propri´ et´ es fondamentales de
la th´ eorie de l’int´ egration de Lebesgue. La nature est suffisamment stable pour
polir les erreurs et les confusions dues ` a de tels ´ ecarts. J’ai plutˆ ot essay´ e de
rester au plus pr` es de la r´ ealit´ e scientifique et technique, tout en aiguisant la
curiosit´ e math´ ematique du lecteur.
Dans la suite, on utilisera donc la terminologie “chaˆ ıne de Markov abstraite” pour d´ esigner une chaˆ ıne de Markov X n ` a valeurs dans des ensembles
suffisamment r´ eguliers E n , de transitions de probabilit´ es
M n (x n−1 , dx n ) = d´ ef. P
Xn|Xn−1 (dx n |x n−1 ) = P(X n ∈ dx n | X n−1 = x n−1 )
et de loi initiale η 0 (dx 0 ) = P
X0 (dx 0 ) sur E 0 . On note alternativement
η n (dx n ) = P
Xn (dx n ) = P(X n ∈ dx n )
P. Del Moral and C. Vergé, Modèles et méthodes stochastiques,
Mathématiques et Applications 75, DOI: 10.1007/978-3-642-54616-7_2,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014
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