1.3 Quelques exemples
21
Pour le calcul des variances, on observe que
Var (X n+1 | X n )
:= E
[X n+1 − E (X n+1 | X n )]
2 | X n
= E
E
X n+1 − E
X n+1 | X n ,
X n+1
2 | X n ,
X n+1
| X n
+E
E
X n+1 | X n ,
X n+1
− E (X n+1 | X n )
2 | X n
:= E
Var
X n+1 | X n ,
X n+1
| X n
+ Var
E
X n+1 | X n ,
X n+1
Il reste ` a noter que
Var
X n+1 | X n ,
X n+1
𚵾
=
X n+1 × p n+1 × (1 − p n+1 )
et Var
X n+1 | X n
= X n Var(N ), pour conclure que
Var (X n+1 | X n ) =
E(N ) × p n+1 × (1 − p n+1 ) + p
2
n+1 × Var(N )
× X n
A titre d’exemple, lorsque les variables al´ eatoires N
i
n sont des variables de
Poisson (de param` etre E(N )) ; sachant X n la taille des populations X n+1 suit
une loi de Poisson de param` etre p n+1 X n E(N ).
1.3.8 Mod` eles d’´ epid´ emiologie
On se donne une population d’individus fix´ ee N . On note X n le nombre
d’individus sains, et Y n le nombre de nouveaux cas d’infection ` a chaque instant
n ∈ N. Par construction, nous avons X 0 + Y 0 = N , et X n = X n+1 + Y n+1 ,
ainsi que
X n +
n
p=0
Y p = N
Dans le mod` eles d’´ epid´ emiologie de type binomiaux, le nombre de nouveaux
cas d’infection Y n+1 suit une loi binomiale de param` etres X n et p(Y n ), o` u
p : k ∈ N → p(k) ∈ [0, 1] d´ esigne une fonction donn´ ee. Plus formellement,
nous avons
P ((Y n+1 , X n+1 ) = (k, l) | (X n , Y n ))
= C
k
X l
p(Y n )
k (1 − p(Y n ))
Xn−k 1 [0,Xn] (k) 1 Xn (k + l)
Le mod` ele de Greenwood correspond aux cas homog` ene p(k) = p(1) ∈ [0, 1],
le mod` ele de Reed-Frost au cas p(k) = 1 − (1 − p(1))
k . Dans les deux cas,
p(1) d´ esigne la probabilit´ e qu’un individu sain soit contamin´ e par l’un des
individus infect´ es [1, 85, 138].