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1 Chaˆ ınes de Markov discr` etes
X0=1
X1=2
X2=4
Fig. 1.11. Processus de branchement
Dans ce contexte, on notera que E(N ) = 2p. De plus, on montre que les
transitions de cette chaˆ ıne sont donn´ ees par la formule binomiale
P(X n+1 = 2y | X n = x) = C
y
x p
y (1 − p)
x−y
pour tout y ∈ {0, . . . , x}, et P(X n+1 ∈ 2N + 1 | X n = x) = 0, pour tout x ∈ N.
1.3.7 Processus de survie
Reprenons le processus de branchement d´ ecrit dans la section 1.3.6. Supposons d´ esormais que chaque individu ait une probabilit´ e de survie li´ ee ` a la
taille de la population. Dans ce contexte, l’´ evolution des tailles de population
X n sont d´ ecompos´ ees en deux parties
X n
naissances
− − − − − − − −→
X n+1 =
Xn
i=1
N
i
n
extinction/survie
− − − − − − − −→ X n+1
La variable interm´ ediaire
X n+1 repr´ esente le nombre de naissances entre la
g´ en´ eration n et (n + 1), la variable X n+1 le nombre d’individus ayant surv´ ecu
` a la g´ en´ eration (n + 1). Sachant
X n+1 , la variable X n+1 suit une loi binˆ omiale
de param` etres
X n+1 et p n+1 . Les probabilit´ es de survie p n+1 de chacun des
X n+1 individus d´ ependent des tailles des populations X n . Pour le mod` ele de
Ricker, ces derni` eres sont donn´ ees par p n+1 = e
−a Xn , avec un param` etre fix´ e
a ≥ 0 [132]. Le mod` ele de Gompertz et celui de Hassell sont donn´ es par les
probabilit´ es de survie p n+1 = e
−a log Xn et p n+1 = 1/(1 + aX n )
b [90, 91]. Par
construction, nous avons
E
X n+1 | X n ,
X n+1
=
X n+1 × p n+1 et E
X n+1 | X n
= E(N ) × X n
Par cons´ equent, on obtient
E (X n+1 | X n ) = E(N ) × X n × p n+1