1.3 Quelques exemples
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Fig. 1.10. Chaˆ ıne stopp´ ee
1.3.6 Processus de branchements
On consid` ere une population d’individus se d´ eveloppant de la fa¸ con suivante. Notons X n le nombre d’individus `
a l’instant n. A l’´ etape suivante,
chaque individu de label i ∈ {1, 2, . . . , X n }, donne naissance ` a N
i
n individus.
On convient que ces nombres de branchements (N
i
n ) i≥1 sont ind´ ependants des
configurations pass´ ees (X 0 , . . . , X n−1 ). Dans ce cas, le processus al´ eatoire des
tailles de population forme un processus de Markov `
a valeurs enti` eres. Son
´ evolution peut ˆ etre d´ ecrite dynamiquement par le syst` eme
X n+1 = N
1
n + N
2
n + . . . + N
Xn
n
=
Xn
i=1
N
i
n
Lorsque les v.a. de branchement (N
i
n ) i≥1, n≥1 sont des copies ind´ ependantes
d’une mˆ eme v.a. enti` ere N , on notera que
E(X n+1 |X n ) =
Xn
i=1
E(N
i
n ) = X n × E(N ) ⇒ E(X n+1 ) = E(X 0 ) E(N )
n+1
Par cons´ equent, en supposant que E(X 0 ) = 0, la population moyenne s’´ eteindra
lorsque E(N ) < 1, et elle explosera lorsque E(N ) > 1. La figure 1.11 pr´ esente
une r´ ealisation d’un arbre de descendances d’un individu (X 0 = 1).
Examinons la situation o` u chaque individu se d´ edouble avec une probabilit´ e p, ou disparaˆ ıt avec la probabilit´ e (1 − p). Ce mod` ele correspond au choix
d’une v.a. N de Bernoulli loi
P
N = p δ 2 + (1 − p) δ 0