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1 Chaˆ ınes de Markov discr` etes
0
Fig. 1.9. Marche al´ eatoire sur Z
2
de v.a. ind´ ependantes de mˆ eme loi p sur U , on a une repr´ esentation dynamique
de l’´ evolution
X n = X n−1 + U n = X 0 +
n
i=1
U n
La figure suivante pr´ esente une r´ ealisation d’une trajectoire al´ eatoire de la
chaˆ ıne X n sur Z
2 , d’origine X 0 = 0 ∈ Z
2 .
1.3.5 Marche al´ eatoire arrˆ et´ ee
Supposons qu’une particule ´ evolue sur Z
d selon les principes de transitions ´ el´ ementaires d´ ecrits dans l’exemple 1.3.4, mais cette derni` ere ne peut se
mouvoir que si elle se trouve dans une r´ egion sp´ ecifique de l’espace B ⊂ Z
d .
Autrement dit, lorsque la chaˆ ıne X n sort de B, elle s’immobilise. Ce mod` ele
physique peut ` a nouveau ˆ etre repr´ esent´ e par une chaˆ ıne de Markov Y n ` a valeurs dans Z
d . Dans ce contexte, les transitions Y n−1 Y n sont donn´ ees par
la formule suivante
Y n =
Y n−1 + U n si Y n−1 ∈ B
Y n−1
si Y n−1 ∈ B
La figure 1.10 pr´ esente une r´ ealisation d’une trajectoire s’immobilisant ` a la
sortie d’un segment B de Z.