1.3 Quelques exemples
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2. Montrer que la position moyenne de la particule au temps n est donn´ ee
par la formule E(X n ) = n × (2p − 1). En conclure que
⎧
⎨
⎩
lim n→∞ E(X n ) = −∞ si p ∈ [0, 1/2)
E(X n ) = 0
si p = 1/2
lim n→∞ E(X n ) = +∞ si p ∈ (1/2, 1]
3. V´ erifier que les transitions de la chaˆ ıne entre deux instants, m et (m + n),
sont donn´ ees par la formule
P(X m+n = x + [k − (n − k)] | X m = x) = C
k
n p
k (1 − p)
n−k
pour tous les k ∈ {0, . . . , n}, et
P(X m+n ∈ {x + 2k − n : k = 0, . . . , n}|X n = x) = 0
4. En d´ eduire que
P(X m+2k = 0 | X m = 0) =
(2k)!
k!k!
(p(1 − p))
k
En utilisant la formule de Stirling (k!
√
2πk k
k e
−k ), montrer que
P(X m+2k = 0 | X m = 0)
(4p(1 − p))
k
√
πk
(= 1/
√
πk si p = 1/2)
1.3.4 Marche al´ eatoire sur Z
d
On note |.| la distance l
1 sur E = Z
d d´ efinie par
|x| =
d
i=1
|x
i
|
pour tout x = (x
i ) 1≤i≤d ∈ Z
d . On associe `
a une mesure de probabilit´ e p sur
l’ensemble des 2d vecteurs unitaires directionnels
U = {u ∈ Z
d : |u| = 1}
la transition homog` ene
M (x, y) =
u∈U
p(u) 1 x+u (y)
L’´ evolution al´ eatoire de la chaˆ ıne X n associ´ ee ` a M est claire. A chaque ´ etape
n, la particule choisit al´ eatoirement un vecteur u ∈ U avec la probabilit´ e p(u),
et se d´ eplace dans cette direction. Autrement dit, si (U n ) n≥1 d´ esigne une suite