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1 Chaˆ ınes de Markov discr` etes
1.3.3 Marche al´ eatoire sur Z
La marche al´ eatoire simple sur Z correspond ` a un mouvement al´ eatoire
d’une particule sur les entiers relatifs, se d´ epla¸ cant soit d’un pas vers la droite,
avec une probabilit´ e p, soit d’un pas vers la gauche, avec une probabilit´ e
(1 − p), avec p ∈ (0, 1). Ce mouvement peut ˆ etre repr´ esent´ e sch´ ematiquement
par la figure 1.8. Plus formellement, ce mouvement al´ eatoire est d´ efini par
une chaˆ ıne de Markov X = (X n ) n≥0 d´ efinie sur un espace de probabilit´ es
(Ω, F, P), d’origine X 0 = 0 et de probabilit´ es de transitions homog` enes
M (x, y) = d´ ef. P(X n = y | X n−1 = x) = P
Xn|Xn−1 (y|x)
= p 1 x+1 (y) + (1 − p) 1 x−1 (y)
Pour d´ ecrire une r´ ealisation dynamique de cette chaˆ ıne, on se donne une
suite de v.a. ind´ ependantes U = (U n ) n≥1 distribu´ ees sur {−1, +1} selon la
mˆ eme loi de Rademacher
P(U n = +1) = 1 − P(U n = −1) = p
On suppose, comme d’habitude, que cette suite est d´ efinie sur un espace de
probabilit´ es (Ω, F, P). On associe `
a U , le syst` eme dynamique al´ eatoire donn´ e
par les ´ equations suivantes :
X n = X n−1 + U n
X 0 = 0
(1.5)
0
1
2
−1
−2
p
1−p
p
p
p
1−p
1−p
1−p
Fig. 1.8. Marche al´ eatoire simple sur Z
L’interpr´ etation dynamique offre un certain nombre d’avantages. Par exemple,
elle permet une repr´ esentation “explicite” de l’´ etat X n en terme de v.a.
ind´ ependantes, et simplifie l’analyse des transitions de probabilit´ es.
Exercice 1.3.1 Cet exercice a pour objectif d’analyser plus en profondeur la
marche al´ eatoire sur Z d´ ecrite dans l’exemple 1.3.3.
1. V´ erifier que l’interpr´ etation dynamique introduite en (1.5) correspond bien
` a la donn´ ee d’une marche al´ eatoire simple sur Z.