1.3 Quelques exemples
15
1.3 Quelques exemples
1.3.1 Files d’attente
Soit (U n ) n≥1 une suite de v.a. positives et ind´ ependantes de lois respectives
(μ n ) n≥1 . On consid` ere la chaˆ ıne de Markov d´ efinie de fa¸ con r´ ecursive par
l’´ equation suivante
X n+1 = (X n − 1)
+ + U n+1
X 0 = 0
Dans la formule pr´ ec´ edente a
+ = max (a, 0) d´ esigne le maximum entre un
nombre r´ eel a ∈ R et 0.
Ce processus al´ eatoire peut s’interpr´ eter comme la longueur d’une file d’attente, ou encore le temps d’attente d’un client arrivant `
a un guichet,
servant une personne par unit´ e de temps. Dans ce contexte, la v.a. U n+1
repr´ esente le nombre de clients arrivant dans la file d’attente au temps
(n + 1).
On peut aussi interpr´ eter X n comme le nombre de paquets (symboles binaires repr´ esentant de l’information : voix, vid´ eo, donn´ ees,...) en attente
dans la m´ emoire d’un canal de communication, transmettant un paquet par unit´ e de temps. Dans cette situation, la v.a. U n+1 repr´ esente le
nombre de paquets arrivant dans le canal `
a l’instant (n + 1).
On notera que les transitions de cette chaˆ ıne sont donn´ ees pour tout i ≥ 1,
et pour tout j ≥ 0, par la formule suivante
P(X n+1 = (i − 1) + j | X n = i) = μ n+1 (j) = P(X n+1 = j | X n = 0)
1.3.2 Mod` ele d’urnes
On consid` ere une urne contenant initialement B 0 boules blanches, et N 0
boules noires. A chaque instant n, on choisit au hasard une boule, puis on
remet cette boule dans l’urne accompagn´ ee d’une nouvelle boule de la mˆ eme
couleur. On note (B n , N n ) le nombre de boules blanches, et noires, dans l’urne
au temps n. Par construction, le couple X n = (B n , N n ) est une chaˆ ıne de
Markov `
a valeurs dans E = N
2 , et de probabilit´ es de transitions
P
Xn|Xn−1 (.|(b, m)) =
b
m + b
δ (b+1,m) +
m
b + m
δ (b,m+1)
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1.3 Quelques exemples
1.3.1 Files d’attente
Soit (U n ) n≥1 une suite de v.a. positives et ind´ ependantes de lois respectives
(μ n ) n≥1 . On consid` ere la chaˆ ıne de Markov d´ efinie de fa¸ con r´ ecursive par
l’´ equation suivante
X n+1 = (X n − 1)
+ + U n+1
X 0 = 0
Dans la formule pr´ ec´ edente a
+ = max (a, 0) d´ esigne le maximum entre un
nombre r´ eel a ∈ R et 0.
Ce processus al´ eatoire peut s’interpr´ eter comme la longueur d’une file d’attente, ou encore le temps d’attente d’un client arrivant `
a un guichet,
servant une personne par unit´ e de temps. Dans ce contexte, la v.a. U n+1
repr´ esente le nombre de clients arrivant dans la file d’attente au temps
(n + 1).
On peut aussi interpr´ eter X n comme le nombre de paquets (symboles binaires repr´ esentant de l’information : voix, vid´ eo, donn´ ees,...) en attente
dans la m´ emoire d’un canal de communication, transmettant un paquet par unit´ e de temps. Dans cette situation, la v.a. U n+1 repr´ esente le
nombre de paquets arrivant dans le canal `
a l’instant (n + 1).
On notera que les transitions de cette chaˆ ıne sont donn´ ees pour tout i ≥ 1,
et pour tout j ≥ 0, par la formule suivante
P(X n+1 = (i − 1) + j | X n = i) = μ n+1 (j) = P(X n+1 = j | X n = 0)
1.3.2 Mod` ele d’urnes
On consid` ere une urne contenant initialement B 0 boules blanches, et N 0
boules noires. A chaque instant n, on choisit au hasard une boule, puis on
remet cette boule dans l’urne accompagn´ ee d’une nouvelle boule de la mˆ eme
couleur. On note (B n , N n ) le nombre de boules blanches, et noires, dans l’urne
au temps n. Par construction, le couple X n = (B n , N n ) est une chaˆ ıne de
Markov `
a valeurs dans E = N
2 , et de probabilit´ es de transitions
P
Xn|Xn−1 (.|(b, m)) =
b
m + b
δ (b+1,m) +
m
b + m
δ (b,m+1)