Solutions
2.2.2
1. Par construction, nous avons
pn
i=1
f (
X
i
n ) =
pn
i=1
g
i
n (X
i
n ) f (X
i
n ) et
pn+1
i=1
f (X
i
n+1 ) =
pn
i=1
f (X
i
n+1 )
2. On commence par noter que
s(
X n+1 ) = 1
pn>0
pn
i=1
δ
X i
n
Par cons´ equent, nous avons
E(s(
X n )(f n ) | X n ) = s(X n )(G n f n )
et
E(s(X n+1 )(f n+1 ) |
X n ) = s(
X n )M n+1 (f n+1 )
Il en d´ ecoule que
E(s(X n+1 )(f n+1 ) | X n ) = E(E(s(X n+1 )(f n+1 ) | X n ,
X n ) | X n )
= E(E(s(X n+1 )(f n+1 ) |
X n ) | X n )
= E(s(
X n )M n+1 (f n+1 ) | X n )
= s(X n )(G n M n+1 (f n+1 ))
3. D’apr` es les formules pr´ ec´ edentes, nous avons
P. Del Moral and C. Vergé, Modèles et méthodes stochastiques,
Mathématiques et Applications 75, DOI: 10.1007/978-3-642-54616-7,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014
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