15.4 Mod` eles de propagation d’incertitudes
451
On notera que la mesure gaussienne centr´ ee r´ eduite est r´ eversible par rapport
aux transformations al´ eatoires
x →
√
1 − a x +
√
a W := Θ a (x, W ) avec a ∈ [0, 1],
et W une variable gaussienne centr´ ee r´ eduite.
On en d´ eduit que la transformation
X :=
X
i
1≤i≤d
→ Θ a (X, W ) :=
Θ a1
X
1 , W
1
, . . . , Θ a d
X
d , W
d
est r´ eversible par rapport ` a la mesure produit gaussienne μ(dx) sur R
d ,
pour tout choix de nombres a k ∈ [0, 1] (cf. exercice 6.1.8, page 158). Dans la
formule pr´ ec´ edente, W = (W
i ) 1≤i≤d d´ esigne une suite form´ ee de d variables
gaussiennes centr´ ees r´ eduites ind´ ependantes.
Une technique d’exploration locale de B(c n ) pr´ eservant la mesure μ B(cn)
consiste `
a effectuer la transformation al´ eatoire pr´ ec´ edente d’un vecteur X ∈
B(c n ). Si le nouveau vecteur Θ a (X, W ) est dans B(c n ), nous l’acceptons. Dans
le cas contraire, nous r´ eit´ erons ce proc´ ed´ e ` a partir d’une nouvelle transformation de X. Ces techniques de simulation sont d´ ecrites dans la section 9.1.2.
Nous noterons par la suite M n cette transition de type acceptation-rejet sur
le n-i` eme niveau B(c n ).
On consid` ere un processus de Markov X n de transition de probabilit´ e M n
et de loi initiale η 0 = μ sur R
d . On choisira le niveau initial B(c 1 ) de sorte `
a
avoir η 0 (B(c 1 )) = η 0 (A 1 ) suffisamment grand, disons de l’ordre de 1/2 pour
fixer les id´ ees.
Par construction, les mesures
η n (dx) = μ An (dx) =
1
μ(A n )
1 An (x) μ(dx)
satisfont les ´ equations de point fixe
η n+1 = η n+1 M n+1
ainsi que les formules de mises ` a jours
η n+1 (dx) = Ψ Gn (η n ) (dx) :=
1
η n (G n )
G n (x) η n (dx)
avec les fonctions potentiel G n = 1 An+1 .
En combinant ces deux ´ equations, on obtient la formule r´ ecursive suivante
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On notera que la mesure gaussienne centr´ ee r´ eduite est r´ eversible par rapport
aux transformations al´ eatoires
x →
√
1 − a x +
√
a W := Θ a (x, W ) avec a ∈ [0, 1],
et W une variable gaussienne centr´ ee r´ eduite.
On en d´ eduit que la transformation
X :=
X
i
1≤i≤d
→ Θ a (X, W ) :=
Θ a1
X
1 , W
1
, . . . , Θ a d
X
d , W
d
est r´ eversible par rapport ` a la mesure produit gaussienne μ(dx) sur R
d ,
pour tout choix de nombres a k ∈ [0, 1] (cf. exercice 6.1.8, page 158). Dans la
formule pr´ ec´ edente, W = (W
i ) 1≤i≤d d´ esigne une suite form´ ee de d variables
gaussiennes centr´ ees r´ eduites ind´ ependantes.
Une technique d’exploration locale de B(c n ) pr´ eservant la mesure μ B(cn)
consiste `
a effectuer la transformation al´ eatoire pr´ ec´ edente d’un vecteur X ∈
B(c n ). Si le nouveau vecteur Θ a (X, W ) est dans B(c n ), nous l’acceptons. Dans
le cas contraire, nous r´ eit´ erons ce proc´ ed´ e ` a partir d’une nouvelle transformation de X. Ces techniques de simulation sont d´ ecrites dans la section 9.1.2.
Nous noterons par la suite M n cette transition de type acceptation-rejet sur
le n-i` eme niveau B(c n ).
On consid` ere un processus de Markov X n de transition de probabilit´ e M n
et de loi initiale η 0 = μ sur R
d . On choisira le niveau initial B(c 1 ) de sorte `
a
avoir η 0 (B(c 1 )) = η 0 (A 1 ) suffisamment grand, disons de l’ordre de 1/2 pour
fixer les id´ ees.
Par construction, les mesures
η n (dx) = μ An (dx) =
1
μ(A n )
1 An (x) μ(dx)
satisfont les ´ equations de point fixe
η n+1 = η n+1 M n+1
ainsi que les formules de mises ` a jours
η n+1 (dx) = Ψ Gn (η n ) (dx) :=
1
η n (G n )
G n (x) η n (dx)
avec les fonctions potentiel G n = 1 An+1 .
En combinant ces deux ´ equations, on obtient la formule r´ ecursive suivante