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15 Analyse de risques
al´ eaoires ind´ ependantes gaussiennes centr´ ees r´ eduites, la mesure μ est donn´ ee
par la formule suivante :
μ(dx) =
1
(2π) d/2 e
−
1
2
d
k=1 (x
i )
2 dx
1 . . . dx
d
(15.20)
o` u dx = dx
1 . . . dx
d d´ esigne un voisinage infinit´ esimal du point x = (x
1 , . . . , x
d ).
Dans cette situation, l’´ ev´ enement (15.19) s’exprime sous la forme suivante
A :=
(x
1 , . . . , x
d ) ∈ R
d : sup
t∈[0,T ]
F t (x
1 , . . . , x
d ) ≥ c
15.4.2 Mod` eles de Feynman-Kac
En g´ en´ eral, la simulation directe de variables al´ eatoires X dans l’ensemble
A est difficile `
a r´ ealiser. Une premi` ere analyse consiste ` a se donner une suite
de sous espaces emboˆ ıt´ es d´ ecroissants
A = A n ⊂ A n−1 . . . ⊂ A 3 ⊂ A 2 ⊂ A 1
Dans l’exemple des d´ epassements de niveaux d´ ecrit en (15.19), on peut
choisir ces ensembles
A n := B(c n ) =
x : sup
t∈[0,T ]
F t (x) ≥ c n
en fonction de hauteurs des niveaux croissants
c n ≥ c n−1 ≥ . . . c 3 ≥ c 2 ≥ c 1
Le nombre initial c 1 sera choisi suffisamment petit, de sorte `
a ce que
l’´ ev´ enement A 1 = B(c 1 ) soit facile `
a r´ ealiser.
Sur chaque ensemble A n on se donne une strat´ egie d’exploration locale
laissant la mesure μ An invariante. On pourra par exemple modifier les composantes d’une configuration de niveau n jusqu’` a l’obtention d’une nouvelle
configuration dans le mˆ eme niveau. Cette ´ etape peut ˆ etre confectionn´ ee ` a partir d’un ´ echantillonneur de Gibbs ou d’une transition de Metropolis-Hastings.
Dans l’exemple gaussien des d´ epassements de niveaux d´ ecrit en (15.20), la
mesure μ An est donn´ ee par une mesure produit gaussienne μ(dx) sur R
d restreinte `
a l’ensemble A n
μ An (dx) ∝ 1 F
−1
t
([c,∞[)
(x
1 , . . . , x
d )
×
1
(2π) d/2 e
−
1
2
d
k=1 (x
i )
2 dx
1 . . . dx
d
15 Analyse de risques
al´ eaoires ind´ ependantes gaussiennes centr´ ees r´ eduites, la mesure μ est donn´ ee
par la formule suivante :
μ(dx) =
1
(2π) d/2 e
−
1
2
d
k=1 (x
i )
2 dx
1 . . . dx
d
(15.20)
o` u dx = dx
1 . . . dx
d d´ esigne un voisinage infinit´ esimal du point x = (x
1 , . . . , x
d ).
Dans cette situation, l’´ ev´ enement (15.19) s’exprime sous la forme suivante
A :=
(x
1 , . . . , x
d ) ∈ R
d : sup
t∈[0,T ]
F t (x
1 , . . . , x
d ) ≥ c
15.4.2 Mod` eles de Feynman-Kac
En g´ en´ eral, la simulation directe de variables al´ eatoires X dans l’ensemble
A est difficile `
a r´ ealiser. Une premi` ere analyse consiste ` a se donner une suite
de sous espaces emboˆ ıt´ es d´ ecroissants
A = A n ⊂ A n−1 . . . ⊂ A 3 ⊂ A 2 ⊂ A 1
Dans l’exemple des d´ epassements de niveaux d´ ecrit en (15.19), on peut
choisir ces ensembles
A n := B(c n ) =
x : sup
t∈[0,T ]
F t (x) ≥ c n
en fonction de hauteurs des niveaux croissants
c n ≥ c n−1 ≥ . . . c 3 ≥ c 2 ≥ c 1
Le nombre initial c 1 sera choisi suffisamment petit, de sorte `
a ce que
l’´ ev´ enement A 1 = B(c 1 ) soit facile `
a r´ ealiser.
Sur chaque ensemble A n on se donne une strat´ egie d’exploration locale
laissant la mesure μ An invariante. On pourra par exemple modifier les composantes d’une configuration de niveau n jusqu’` a l’obtention d’une nouvelle
configuration dans le mˆ eme niveau. Cette ´ etape peut ˆ etre confectionn´ ee ` a partir d’un ´ echantillonneur de Gibbs ou d’une transition de Metropolis-Hastings.
Dans l’exemple gaussien des d´ epassements de niveaux d´ ecrit en (15.20), la
mesure μ An est donn´ ee par une mesure produit gaussienne μ(dx) sur R
d restreinte `
a l’ensemble A n
μ An (dx) ∝ 1 F
−1
t
([c,∞[)
(x
1 , . . . , x
d )
×
1
(2π) d/2 e
−
1
2
d
k=1 (x
i )
2 dx
1 . . . dx
d