15.4 Mod` eles de propagation d’incertitudes
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bateaux, ou ´ eoliennes) sont fournies par la r´ esolution num´ erique d’un simple
probl` eme hydrodynamique. La r´ eponse de la structure `
a ces forces est ensuite
donn´ ee par la r´ esolution d’un probl` eme m´ ecanique permettant de calculer les
contraintes et les d´ eplacements de la structure. Ce syst` eme d’entr´ ee-sortie
peut ˆ etre synth´ etis´ e par le sch´ ema suivant
Entr´ ees = X −→
Code num´ erique F −→ Sorties = Y = F (X)
Dans l’exemple pr´ ec´ edent, les d´ eplacements de la structure au cours du temps
sont donn´ es par un processus al´ eatoire
Y = (Y t ) i∈[0,T ] = (F t (X)) i∈[0,T ]
o` u F t (X) d´ esigne la sortie du code au temps t, sur un horizon temporel T . La
variable d’entr´ ee repr´ esente `
a la fois les al´ eas des processus repr´ esentant les
vagues, ainsi que les param` etres spectraux. Dans ce contexte, l’objectif est de
calculer la probabilit´ e que la valeur maximale de la r´ eponse X t d´ epasse une
valeur critique c sur un horizon de temps donn´ e T .
Plus formellement, les probabilit´ es d’occurrence de ces ´ ev´ enements s’expriment sous la forme suivante
P (X ∈ A) avec A :=
x : sup
t∈[0,T ]
F t (x) ≥ c
(15.19)
Outre ces quantit´ es, le second objectif est de calculer les statistiques des al´ eas
d’entr´ ees X conduisant le syst` eme dans ces d´ epassements de niveaux critiques
Loi (X | X ∈ A )
Plus formellement, si μ(dx) d´ esigne la distribution de la variable d’entr´ ee
X, ces deux quantit´ es sont donn´ ees par les formules suivantes :
P(X ∈ A) = μ(A) :=
A
μ(dx)
et
P(X ∈ dx | X ∈ A) = μ A (dx) :=
1
μ(A)
1 A (x) μ(dx)
A titre d’exemple, lorsque les variables d’entr´ ees X = (X
i ) 1≤i≤d forment
une variable al´ eatoire d-dimensionnelle ` a valeurs dans R
d form´ ee de variables