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15 Analyse de risques
ξ
i
p =
T
i
p ,
ζ
i
q
T i
p−1 ≤q≤
T i
p
ξ
i
p+1 =
T
i
p+1 ,
ζ
i
q
T i
p ≤q≤T i
p+1
se traduit par la simulation d’une excursion initialis´ ee en
ζ
i
T i
p
∈ B p vers l’ensemble B p+1 ∪ C.
Dans certaines situations, il peut survenir qu’aucune des particules initialis´ ees au niveau B p−1 atteignent le niveau suivant B p . Dans cette situation, nous avons G p (ξ
i
p ) = 1 Bp
ζ
i
Tp
= 0 pour tout indice 1 ≤ i ≤ N , et
l’´ etape de s´ election ne peut ˆ etre effectu´ ee correctement. Les probabilit´ es de ces
´ ev´ enements sont g´ en´ eralement tr` es faibles. Pour plus de d´ etails math´ ematiques
sur ces cas d´ eg´ en´ er´ es, nous renvoyons le lecteur `
a l’ouvrage [36].
Deux solutions peuvent ˆ etre adopt´ ees. Dans un premier temps, il convient
de re-d´ efinir le choix des niveaux et de lancer `
a nouveau l’algorithme. Une
seconde solution est de choisir de fa¸ con adaptative les niveaux en fonction
des populations apr` es l’´ etape de mutation. Par exemple, on pourra choisir
le niveau B p de sorte ` a avoir au moins 70% de particules dans ce niveau.
La difficult´ e de cette seconde approche r´ eside dans le fait qu’il est impossible de connaitre le nombre de niveaux adaptatifs n´ ecessaires pour entrer
dans le niveau terminal. L’analyse math´ ematique de ces mod` eles, d’autres
choix de s´ elections adaptatives et d’autres variantes de simulation peuvent
ˆ etre trouv´ ees dans les articles [39, 43]. Certaines variantes de simulation particulaires sont d´ evelopp´ ees dans la section 8.4 du pr´ esent ouvrage.
15.4 Mod` eles de propagation d’incertitudes
15.4.1 Introduction
Les avanc´ ees en sciences du num´ erique et en probabilit´ es appliqu´ ees permettent aujourd’hui de simuler des ph´ enom` enes al´ eatoires complexes issus de
la physique, de la biologie, ou des sciences de l’ing´ enieur. Ces ph´ enom` enes
al´ eatoires sont souvent d´ ecrits par des processus stochastiques de dimension finie, ou encore par des ´ equations int´ egro-diff´ erentielles stochastiques.
Les sources d’incertitudes sont nombreuses : m´ econnaissance des conditions
initiales ou de certains param` etres internes du syst` eme formalis´ e, erreurs de
mod` eles, variables d’environnement dans lequel le ph´ enom` ene se d´ eroule, perturbations de mesures, et bien d’autres.
Pour fixer les id´ ees, prenons l’exemple d’un probl` eme de fiabilit´ e et le
dimensionnement de structures en mer en conditions extrˆ emes. Dans ce
contexte, les incertitudes d’entr´ ee du syst` eme sont celles du chargement des
vagues repr´ esent´ ees par des processus al´ eatoires stationnaires li´ es `
a des propri´ et´ es spectrales fix´ ees, telles la hauteur significative, la p´ eriode des pics, et
la direction des vagues. Les forces de sortie du syst` eme qui s’exercent sur
la structure (tel les syst` emes d’ancrages de terminaux offshore, m´ ethaniers,
15 Analyse de risques
ξ
i
p =
T
i
p ,
ζ
i
q
T i
p−1 ≤q≤
T i
p
ξ
i
p+1 =
T
i
p+1 ,
ζ
i
q
T i
p ≤q≤T i
p+1
se traduit par la simulation d’une excursion initialis´ ee en
ζ
i
T i
p
∈ B p vers l’ensemble B p+1 ∪ C.
Dans certaines situations, il peut survenir qu’aucune des particules initialis´ ees au niveau B p−1 atteignent le niveau suivant B p . Dans cette situation, nous avons G p (ξ
i
p ) = 1 Bp
ζ
i
Tp
= 0 pour tout indice 1 ≤ i ≤ N , et
l’´ etape de s´ election ne peut ˆ etre effectu´ ee correctement. Les probabilit´ es de ces
´ ev´ enements sont g´ en´ eralement tr` es faibles. Pour plus de d´ etails math´ ematiques
sur ces cas d´ eg´ en´ er´ es, nous renvoyons le lecteur `
a l’ouvrage [36].
Deux solutions peuvent ˆ etre adopt´ ees. Dans un premier temps, il convient
de re-d´ efinir le choix des niveaux et de lancer `
a nouveau l’algorithme. Une
seconde solution est de choisir de fa¸ con adaptative les niveaux en fonction
des populations apr` es l’´ etape de mutation. Par exemple, on pourra choisir
le niveau B p de sorte ` a avoir au moins 70% de particules dans ce niveau.
La difficult´ e de cette seconde approche r´ eside dans le fait qu’il est impossible de connaitre le nombre de niveaux adaptatifs n´ ecessaires pour entrer
dans le niveau terminal. L’analyse math´ ematique de ces mod` eles, d’autres
choix de s´ elections adaptatives et d’autres variantes de simulation peuvent
ˆ etre trouv´ ees dans les articles [39, 43]. Certaines variantes de simulation particulaires sont d´ evelopp´ ees dans la section 8.4 du pr´ esent ouvrage.
15.4 Mod` eles de propagation d’incertitudes
15.4.1 Introduction
Les avanc´ ees en sciences du num´ erique et en probabilit´ es appliqu´ ees permettent aujourd’hui de simuler des ph´ enom` enes al´ eatoires complexes issus de
la physique, de la biologie, ou des sciences de l’ing´ enieur. Ces ph´ enom` enes
al´ eatoires sont souvent d´ ecrits par des processus stochastiques de dimension finie, ou encore par des ´ equations int´ egro-diff´ erentielles stochastiques.
Les sources d’incertitudes sont nombreuses : m´ econnaissance des conditions
initiales ou de certains param` etres internes du syst` eme formalis´ e, erreurs de
mod` eles, variables d’environnement dans lequel le ph´ enom` ene se d´ eroule, perturbations de mesures, et bien d’autres.
Pour fixer les id´ ees, prenons l’exemple d’un probl` eme de fiabilit´ e et le
dimensionnement de structures en mer en conditions extrˆ emes. Dans ce
contexte, les incertitudes d’entr´ ee du syst` eme sont celles du chargement des
vagues repr´ esent´ ees par des processus al´ eatoires stationnaires li´ es `
a des propri´ et´ es spectrales fix´ ees, telles la hauteur significative, la p´ eriode des pics, et
la direction des vagues. Les forces de sortie du syst` eme qui s’exercent sur
la structure (tel les syst` emes d’ancrages de terminaux offshore, m´ ethaniers,