15.3 Mod` eles d’excursions par niveaux
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En particulier, la probabilit´ e de l’´ ev´ enement {T n < R} est donn´ ee par la
constante de normalisation
P(T n < R) = E
n
p=0
G p (X p )
des lois conditionnelles
E(f n ([X t ; 0 ≤ t ≤ T n ]) | T n < R) =
E
f n (X 0 , . . . , X n )
n
p=0 G p (X p )
E
n
p=0 G p (X p )
15.3.4 Algorithmes de simulation particulaires
Les formules de Feynman-Kac d´ ecrites dans la section pr´ ec´ edente ont exactement la mˆ eme forme que les mesures (8.1) pr´ esent´ ees dans la section 8.1.2.
Les algorithmes de simulation particulaires de ces distributions de probabilit´ es sont d´ evelopp´ es en d´ etail dans la section 8.3. Dans notre situation, ces
mod` eles s’expriment en terme d’un algorithme de type g´ en´ etique
ξ p = (ξ
i
p ) 1≤i≤N ∈ E
N
s´ election
− − − − − − − − −→
ξ p = (
ξ
i
p ) 1≤i≤N ∈ E
N
mutation
− − − − − − − −−→ ξ p+1 ∈ E
N
Chacune des particules ξ
i
p et
ξ
i
p est ` a valeur dans l’espace des excursions
E = ∪ p≤n
{n} × E
(n−p)+1
On notera les coordonn´ ees de la fa¸ con suivante
ξ
i
p :=
񐡾
T
i
p ,
ζ
i
q
T i
p−1 ≤q≤T i
p
et
ξ
i
p :=
񐡾
T
i
p ,
ζ
i
q
T i
p−1 ≤q≤
T i
p
avec les conventions T
i
−1 = T
i
0 = 0 =
T
i
0 =
T
i
−1 , pour p = 0.
On remarquera que les excursions
ζ
i
q
T i
p−1 ≤q≤T i
p
ayant r´ eussi ` a entrer dans le
niveau B p ont un potentiel
G p (ξ
i
p ) = 1 Bp
ζ
i
Tp
= 1
Pendant la p-i` eme ´ etape de s´ election, ces particules sont pr´ eserv´ ees. Les autres
sont re-distribu´ ees au hasard dans l’ensemble des particules ayant r´ eussi ` a
passer ce niveau. L’´ etape de mutation entre chaque particule